点到直线和点到平面的距离

我们利用向量的运算,以及空间直线、空间平面的方程,可以导出空间中一点到给定直线的距离,或者一点到平面的距离。

笔记下载:点到平面和点到直线的距离

1,我们推导直线外一点 \(P(x,y,z)\) 到直线 \(l\) 的距离。假设直线 \(l\) 过点 \(Q(x_0,y_0,z_0)\),并且它的方向向量是 \(\vec{s}=(a,b,c)\),我们从 \(P\) 点到直线 \(l\) 作垂线,垂足为 \(R\),

我们知道向量 \(\vec{PR}\) 的长度就是点到直线的距离,但是我们不知道 \(R\) 的具体位置,所以没办法直接计算它的长度。但我们知道 \(Q\) 是直线上的一点,我们从\(Q\) 点到 \(P\) 点作一向量\(\vec{QP}\),那么从图形上看, \(|\vec{PR}|=|\vec{QP}|\sin\theta\)

在向量的运算里面,含有 \(\sin \theta\) 的运算是叉积,\(|\vec{a}\times\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\)。因为这里的 \(\theta\) 是向量 \(\vec{QP}\) 与直线的方向向量 \(\vec{s}\) 的夹角,所以\[\sin \theta=\frac{|\vec{QP}\times\vec{s}|}{|\vec{QP}||\vec{s}|}\]

从而,我们可以得到点到直线的距离公式:\[|\vec{PR}|=|\vec{QP}|\cdot \frac{|\vec{QP}\times\vec{s}|}{|\vec{QP}||\vec{s}|}=\frac{|\vec{QP}\times\vec{s}|}{|\vec{s}|}\]

2,现在我们推导平面外一点\(P(x,y,z)\) 到平面的距离。设平面 \(\Sigma\) 过一点 \(Q(x_0,y_0,z_0)\) 且有法向量 \(\vec{n}=(A,B,C)\)。我们从 \(P\) 点到平面 \(\Sigma\) 作垂线,垂足为 \(R\),

那么 \(P\) 到平面的距离就是 \(RP\) 的长度。跟之前一样,我们不知道 \(R\) 的具体位置或者坐标,所我们不能直接计算这个长度。但是我们知道平面上一点 \(Q\),我们作向量 \(\vec{QP}\),

因为 \(\vec{PR}\) 垂直于平面,所以这个向量与平面的法向量平行,或者它就在法向量上。我们从图形上可以看出, \(\vec{RP}\) 的长度正好就是 \(\vec{QP}\) 在法向量上投影的长度。所以我们有 \[|\vec{RP}|=\frac{|\vec{QP}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}\]