柱面及旋转面的方程

除了平面以外,最简单的曲面应该是柱面和旋转面。这里我们推导这两种曲面的方程。

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1,柱面:我们知道在二维空间也就是平面上, \(y=f(x)\) 或者 \(F(x,y)=0\) 就表示一条曲线,但是在三维空间,这个式子表示一个柱面。事实上,任何只有两个变量的方程,在三维空间中都表示一个柱面。

因为,空间中任何一点 \((x,y,z)\),只要满足 \(y=f(x)\) 或者 \(F(x,y)=0\) ,不管 \(z\) 取什么值,都在这个曲面上。当我们取遍 \(z\) 值,就得到了一条过 \((x,y,0)\) 点,平行于 \(z\) 轴的直线。平面上的曲线 \(y=f(x)\) 上的每一个点都对应着这样一条直线,所有的这些直线的集合,这就是一个柱面。这样的直线称为柱面的直母线,而平面曲线 \(y=f(x)\) 称为柱面的准线。

柱面的方程里,缺少的那个变量,就是与直母线平行的轴。

例:\(y=x^2, 2x+3y=1,x^2+y^2=9\) 在空间中,都是柱面。它们分别是抛物柱面,平面和圆柱面。准线分别是抛物线、直线和圆。

柱面的画法:假设柱面的方程为\(y=f(x)\),则先在 \(xOy\) 平面画出准线 \(y=f(x)\),然后在 \(xOy\) 平面上方,平行地画一个同样的曲线,然后用平行于 \(z\) 轴的直线将这两条曲线连接起来就可以了。

2,旋转面。我们将\(z=f(x)\) 绕 \(z\) 轴旋转一圈,看看会得到什么方程。

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首先,这个曲线上一点 \((x_0, f(x_0))\) 旋转以后的轨迹是一个圆。它半径为 \(|x_0|\)。因为是绕 \(z\) 轴旋转,所以 \(z\) 的坐标不变,还是 \(f(x_0)\)。这个圆的半径为 \(|x_0|\),\((x,y)\) 的坐标满足 \(x^2+y^2=x_0^2\),所以 \(z=f(x_0)\) 变成了 \(z=f(\pm\sqrt{x^2+y^2})\) 因为 \(x_0=\pm\sqrt{x^2+y^2}\)。

旋转面的画法:先在 \(yOz\) 平面画出曲线 \(z=f(y)\),然后在曲线顶部绕 \(z\) 轴画一个圆,在曲线底部绕 \(z\) 轴画一个圆,在 \(yOz\) 平面与原曲线对称的地方画一个对称的曲线连接顶部和底部的圆,就是旋转曲面了。

如果曲线本身是用隐函数给出 \(F(x,z)=0\),则它绕 \(z\) 轴旋转得到的方程为 \(F(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0\)。

同样的, \(y=f(\pm\sqrt{x^2+z^2})\) 表示 \(y=f(x)\) 或者 \(y=f(z)\) 绕 \(y\) 轴旋转。 \(x=f(\pm\sqrt{y^2+z^2})\) 表示曲线 \(x=f(y)\) 或者 \(x=f(z)\) 绕 \(x\) 旋转。

\(F(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0\):\(F(x,z)\) 或者 \(F(y,z)\) 绕 \(z\) 轴旋转;

\(F(x,\pm\sqrt{y^2+z^2})=0\):\(F(x,z)\) 或者 \(F(x,y)\) 绕 \(x\) 旋转;

\(F(y,\pm\sqrt{y^2+z^2})=0\):\(F(y,z)\) 或者 \(F(x,y)\) 绕 \(y\) 旋转;

例2: \(z=x^2\) 绕 \(z\)轴旋转所得的旋转面方程为 \(z=x^2+y^2\)。

例3:\(2x^2+2y^2+z^2=1\) 是由 \(2x^2+z^2=1\) 绕 \(z\) 轴旋转而得。\(2x^2+y^2+z^2=1\) 是 由 \(2x^2+z^2=1\) 绕 \(x\) 轴旋转而得。

例4:\(z=\pm\sqrt{x^2+y^2}\) 是由 \(z=x\) 绕 \(z\) 轴旋转而得的锥面。\(x=\pm\sqrt{y^2+z^2}\) 是由 \(z=x\) 绕 \(x\) 轴旋转而得的锥面。