常见二次曲面

我们这里列举一些常见的二次曲面,以及它们的标准形式。

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1,二次曲面的画法:我们画二次曲面的图形时,一般采用“截痕法”或者所谓的“水平集”方法。类似于地图所用的“等高线”。给定一个二次曲面的方程,我们用 \(z=\)常数代入方程,得到一系列的曲线,同样可以用 我们用 \(x=\)常数和\(y=\)常数代入方程,得到一系列的曲线,把这些曲线连起来,差不多就是曲面的大致图形。

例如:曲面 \(z=x^2+2y^2\),我们用 \(z=0, z=1,z=2,z=3,z=4\) 等值代入方程,就得到了点 \((0,0,0)\),椭圆 \(x^2+2y^2=1\),\(x^2+2y^2=2\),\(x^2+2y^2=3\),\(x^2+2y^2=4\),随着 \(z\) 的增大,这一系列椭圆线在变大,这一系列椭圆线在三维空间中不同的高度,把这些曲线连起来就是椭圆抛物面。

下面是一些常见的二次曲面的方程与图形。我们可以清晰地看到这些图形的截痕。

2,球面:球面的标准方程为\(x^2+y^2+z^2=a^2\),圆心在原点;一般方程为 \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=a^2\),圆心在点 \((x_0,y_0,z_0)\)。为了完整起见,我们也给出它的图形:

3,椭球面:\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\),它在三个坐标轴的半轴长分别为 \(a,b,c\)。它的图形为


4,单叶双曲面:\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\);

5,双叶双曲面:\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1\);

6,椭圆锥面:\(\displaystyle z^2=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\);

7,椭圆抛物面:\(\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\);

8,双曲抛物面,或者马鞍面:\(\displaystyle z=\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{z^2}\);

9,一般的二次曲面:对于一般的二次曲面,我们可以通过配方法或者其它方法化成标准的二次曲面的形式。