向量的混合积

三个向量的混合积我们定义为\[(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}\],在几何上,混合积等于以这三个向量为邻边的平行六面体的体积。

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在坐标系下,

\[(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}\]

对于混合积来说,最重要的结果是三向量共面的条件:

定理:三向量共面的充分必要条件是它们的混合积为 \(0\)。即\((\vec{a},\vec{b},\vec{c})=0\)。

因为 \[|(\vec{a},\vec{b},\vec{c})|=|(\vec{a}\times\vec{b}\cdot)\vec{c}|=|\vec{a}\times\vec{b}||\vec{c}|\cos\theta\]若它等于 \(0\),意味着 \(\vec{c}\) 与 \(\vec{a}\times\vec{b}\) 垂直,也就是它在 \(\vec{a},\vec{b}\) 所确定的平面上,所以三向量共面。