向量的投影、方向角与方向余弦

向量之间的另一个运算是向量的投影。我们定义向量 \(\vec{b}\) 到向量 \(\vec{a}\) 的投影 \(\text{Prod}_{\vec{a}}\vec{b}\) 为:

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我们用语言描述为:将两个向量的起点放在一起,从向量 \(\vec{b}\) 的终点作垂点到向量\(\vec{a}\) 所在的直线,然后从两向量的起点到该垂足作向量,就是向量 \(\vec{b}\) 到向量 \(\vec{a}\) 的投影。

从上面的图形或者描述我们知道,\(\text{Prod}_{\vec{a}}\vec{b}\) 与 \(\vec{a}\) 方向相同或者相反,它的长度为 \(|\text{Prod}_{\vec{a}}\vec{b}|=|\vec{b}||\cos \theta|\),与 \(\vec{a}\) 同方向的单位向量为 \(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)。所以我们可以得到\(\text{Prod}_{\vec{a}}\vec{b}\) 的表达式为 \[\text{Prod}_{\vec{a}}\vec{b}=|\vec{b}|\cos \theta\cdot\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\cos\theta\cdot\vec{a}\]

这里 \(\cos\theta\) 为正时,方向与 \(\vec{a}\) 相同,为负时,与\(\vec{a}\) 方向相反。

2,方向余弦与方向角:从前一节我们知道,向量 \(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\) 在三个坐标轴上的投影分别为 \(a_1\vec{i}, a_2\vec{j}, a_3\vec{k}\),如果我们记向量 \(\vec{a}\) 与三个坐标轴的夹角分别为 \(\alpha,\beta,\gamma\),则它们的余弦为\[\cos\alpha=\frac{a_1}{|\vec{a}|}, \quad \cos\beta=\frac{a_2}{|\vec{a}|},\quad \cos\gamma=\frac{a_3}{|\vec{a}|}\]

\(\alpha, \beta,\gamma\) 称为向量 \(\vec{a}\) 的方向角,\(\cos\alpha, \cos\beta,\cos\gamma\) 称为 \(\vec{a}\) 的方向余弦。

我们来看两个简单的例子。

例1:设 \(M_1=(2,2,\sqrt2), M_2=(1,3,0)\),计算 \(|M_1M_2|, \alpha,\beta,\gamma\)。

解:因为 \[\vec{M_1M_2}=(1,3,0)-(2,2,\sqrt2)=(-1,1,-\sqrt2)\]所以 \[|M_1M_2|=\sqrt{1+1+2}=2\]

从而 \[\cos\alpha=\frac{-1}{2}\Longrightarrow \alpha=\frac{2\pi}{3}\] \[\cos\beta=\frac{1}{2}\Longrightarrow \beta=\frac{\pi}{3}\] \[\cos\gamma=-\frac{\sqrt2}{2}\Longrightarrow \gamma=\frac{3\pi}{4}\]

例2:计算 \(\vec{a}=(1,2,3)\) 的方向角。

解:因为 \[|\vec{a}|=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\]所以 \[\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{14}}\Longrightarrow \alpha=\cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{14}}\] \[\cos\beta=\frac{2}{\sqrt{14}}\Longrightarrow \beta=\cos^{-1}\frac{2}{\sqrt{14}}\] \[\cos\gamma=\frac{3}{\sqrt{14}}\Longrightarrow \gamma=\cos^{-1}\frac{3}{\sqrt{14}}\]