向量的叉积

向量的叉积也称为向量的向量积、外积,它的结果是一个向量,所以我们需要规定它的大小和方向。两向量的叉积\(\vec{a}\times\vec{b}\)定义为

  • 长度为\(|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\);
  • 方向为:\(\vec{a}\times\vec{b}\bot\vec{a},\vec{a}\times\vec{b}\bot\vec{b},\) 且 \(\vec{a},\vec{b}, \vec{a}\times\vec{b}\) 成右手系。

笔记下载:向量的叉积(向量积)

对于叉积来说,最重要的结果是:

定理1:两向量平行的充分必要条件是两向量的叉积为 \(0\)。即 \[\vec{a}\parallel\vec{b}\Longleftrightarrow\vec{a}\times\vec{b}=0\]

从定义可以得到,如果两个非零向量的叉积为零,只能是 \(\theta=0\) 或者 \(\theta=\pi\)。零向量的方向是任意的,所以如果其中一个向量为零向量的话,它与所有向量都平行。

坐标系下的叉积:如果在坐标系下 \(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3), \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\),则它们的叉积定义为\[\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}\]

二、三阶行列式的定义:

二阶行列式 \[\begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end{vmatrix}=ad-bc\]

三阶行列式 \[\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{23}\\ a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}\]

叉积的运算法则:

  • \(\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}\);
  • \((\lambda\vec{a})\times\vec{b}=\lambda(\vec{a}\times\vec{b})\);
  • \((\vec{a}+\vec{b})\times\vec{c}=\vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c}\)。

我们来看几个叉积的例子。

例1:设\(\vec{a}=(2,1,-1), \vec{b}=(1,-1,2)\),求 \(\vec{a}\times\vec{b}\)。

解:由叉积在坐标下的定义,我们有

\begin{align*}\vec{a}\times\vec{b}=&\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 2&1&-1\\ 1&-1&2\end{vmatrix}\\ &= \vec{i}\begin{vmatrix}1&-1\\ -1&2\end{vmatrix}-\vec{j}\begin{vmatrix} 2&-1\\1&2\end{vmatrix}+\vec{k}\begin{vmatrix}2&1\\1&-1\end{vmatrix}\\ &= \vec{i}-5\vec{j}-3\vec{k}\\&=(1,-5,-3)\end{align*}

例2:求一个向量,垂直于过三点 \(P=(1,4,6), Q=(-2,5,-1), R=(1,-1,1)\) 的平面。

解:因为这个向量垂直于平面,那么平面上所有的向量都与我们要求的向量垂直。但是我们有平面上的三个点,这三个点可以组成两个向量

\[\vec{PQ}=(-3,1,-7), \quad \vec{PR}=(0,-5,2)\]而两个向量的叉积同时垂直于这两个向量,所以我们有

\begin{align*}\vec{PQ}\times\vec{PR}&=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ -3&1&-7\\ 0&-5&2\end{vmatrix}\\&= -40\vec{i}-15\vec{j}+15\vec{k}\\&=(-40,-15,15)\end{align*}所以向量 \((-40,-15,15)\) 就是我们要求的。