向量的内积

向量的内积也叫向量的数量积、点积。我们定义两个向量的内积是一个数:\[\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\]其中 \(\theta\) 是这两个向量的夹角。

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对于向量的内积,最重要的一个结论是:

定理1:两向量垂直的充分必要条件是它们的内积为 \(0\),即 \(\vec{a}\bot \vec{b}\Longleftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)

这个定理我们几乎不用证明了,因为从定义来看,如果两个向量都不零向量,则只能是夹角 \(\theta=\frac{\pi}{2}\)。而零向量的方向是任意的,零向量与任垂直何向量都垂直。

坐标下的内积:如果 \(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3), \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\),则\[\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\]

这个式子我们可以看成内积的定义,当然也可以从内积的几何定义计算得到。

两向量的夹角余弦:\[\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\]

求出夹角的余弦,我们就可以通过反余弦函数求出两个向量的夹角。

内积的运算法则:

  • \(\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}\);
  • \(\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2\);
  • \((\lambda\vec{a})\cdot\vec{b}=\lambda(\vec{a}\cdot\vec{b})\);
  • \(\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}\)。

我们来看两个简单的例题。

例1:证明向量 \(\vec{a}=(2,2,-1)\) 和 \(\vec{b}=(5,-4,2)\) 相互垂直。

解:因为 \[\vec{a}\cdot \vec{b}=(2,2,-1)\cdot(5,-4,2)=10-8-2=0\]由两向量垂直的充分必要条件,我们知道这两个向量相互垂直。

例2:计算两向量 \(\vec{a},\vec{b}\) 的夹角。\[(1)\quad \vec{a}=(3,-1,5),\vec{b}=(-2,4,3)\qquad (2)\quad \vec{a}=\vec{i}+2\vec{j}-2\vec{k}, \vec{b}=4\vec{i}-3\vec{k}\]

解:(1)由夹角的余弦的计算公式,我们有\[\cos \theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||e\vec{b}|}=\frac{-6-4+15}{\sqrt{9+1+25}\cdot\sqrt{4+16+9}}=\frac{5}{\sqrt{35}\cdot\sqrt{29}}\]所以夹角为 \[\theta=\cos^{-1}\frac{5}{\sqrt{35}\cdot\sqrt{29}}=\arccos\frac{5}{\sqrt{35}\cdot\sqrt{29}}\]

(2)由夹角的余弦的计算公式,\[\cos \theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||e\vec{b}|}=\frac{4+6}{\sqrt{1+4+4}\cdot\sqrt{16+9}}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}\]所以夹角为\[\theta=\cos^{-1}\frac{2}{3}=\arccos\frac{2}{3}\]

例3:计算 \(\vec{b}\) 在 \(\vec{a}\) 上的投影,其中 \(\vec{a}=(4,-3,4),\vec{b}=(2,2,1)\)。

解:由投影的公式 \[\text{Proj}_{\vec{a}}\vec{b}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2}\vec{a}=\frac{8-6+4}{16+9+16}(4,-3,4)=\frac{4}{41}(4,-3,4)=(\frac{16}{41},-\frac{12}{41},\frac{16}{41})\]