向量及其线性运算

向量是基本的几何与物理概念。向量是指既有大小,又有方向的量。图形上,我们用一个带箭头的线段来表示向量。线段的长度表示它的大小,而箭头的指向表示向量有方向。在数学上,我们用粗体字母 \(\bf a, b, \cdots\) 或者带箭头的字母表示 \(\vec{a}, \vec{b},\cdots\)。

这一节我们叙述向量的一些基本概念与运算。

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向量相等:如果两个向量的大小相等,方向相同,我们认为这两个向量是相等的,而不管它们的起点和终点在哪里。

自由向量:与起点无关的向量我们称之为自由向量。

向量的长度:我们一般用符号 \(|\vec{a}|\) 表示向量的长度(或者大小),向量的长度也称为向量的模。

单位向量:如果向量的长度为 \(1\) ,即 \(|\vec{a}|=1\),我们称这样的向量为单位向量。

向量的单位化:设 \(\vec{a}\) 为任何一个向量,则 \(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\) 为与 \(\vec{a}\) 同向的单位向量,我们称之为向量的单位化。

零向量:若 \(|\vec{a}|=0\), 我们称该向量为零向量,有时候记为 \(\vec{0}\)。要注意的是零向量的方向是任意的。

两向量的夹角:如果将两个向量的起点放在一起,两个向量不超过 \(\pi\) 的夹角,称为两个向量的夹角,记为 \(\theta, 0\le\theta\le \pi\)。即

两向量平行:\(\vec{a}\parallel \vec{b}\Longleftrightarrow\theta=0\) 或者 \(\theta=\pi\);

两向量垂直: \(\vec{a}\bot \vec{b}\Longleftrightarrow\theta=\frac{\pi}{2}\)。

两向量的加法可以用平等四边形法则或者用三角形法则来定义。

平行四边形法则:将两个向量的起点放在一起,以此两向量为相邻边,作平行四边形,然后作对角线。以两向量的起点为为起点,以对角线的终点为向量的终点,这样作出来的向量是两个向量的和。

三角形法则:将第二个向量的起点置于第一个向量的终点,然后以第一个向量的起点为起点,第二个向量的终点为终点,所得到的向量是为两向量的和向量。

负向量:与 \(\vec{a}\) 大小相同,方向相反的向量,记为 \(-\vec{a}\)。

两向量相减:\(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\)。

数乘:\(\lambda \vec{a}\)定义为 \(|\lambda\vec{a}|=|\lambda||\vec{a}|\);若 \(\lambda>0\),\(\lambda \vec{a}\) 与 \(\vec{a}\) 方向相同,若\(\lambda<0\),\(\lambda \vec{a}\) 与 \(\vec{a}\) 方向相反。

向量的加法与数乘满足通常的交换律、结合律与分配律。

  • \(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\);
  • \((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\(\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\);
  • \(\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda \vec{a}+\lambda\vec{b}\);
  • \((\lambda+\mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}\);
  • \(\lambda(\mu\vec{a})=(\lambda\mu)\vec{a}\);
  • \((\lambda+\mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}\).