点到平面和点到直线的距离

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1,占到平面的距离:平面外一点 \(P=(x,y,z)\) 到平面的距离,如果已知平面过点 \(Q=(x_0,y_0,z_0)\),那么可以作向量 \(\vec{PQ}\),此向量在平面法向量上投影的长度就是 \(P=(x,y,z)\) 到平面的距离 。

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\begin{align*}d&=|\overrightarrow{RP}|=|\text{Proj}_{\vec{n}}\overrightarrow{QP}|\\&=|\overrightarrow{QP}|\cdot|\cos\theta|=|\overrightarrow{QP}|\cdot \frac{|\overrightarrow{QP}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} \\ &=\frac{|\overrightarrow{QP}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}\end{align*}

在坐标表示下,若平面的方程为\(Ax+By+Cz=D\),则

\begin{align*}d&=\frac{|\overrightarrow{RP}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|\overrightarrow{RP}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}\\ &=\frac{ |(x_1-x_0, y_1-y_0,z_1-z_0) \cdot(A,B,C)|}{\sqrt{A^2+b^2+C^2}}\\ &=\frac{|Ax_1+By_1+Cz_1-(Ax_0+By_0+Cz_0)|}{\sqrt{A^2+b^2+C^2}}\\ &=\frac{|Ax_1+By_1+Cz_1-D|}{\sqrt{A^2+b^2+C^2}}\end{align*}

结论是

\[d=\frac{|Ax_1+By_1+Cz_1-D|}{\sqrt{A^2+b^2+C^2}}\]

或者

\[d=\frac{|\overrightarrow{QP}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}\]

2,点到直线的距离:直线外一点 \(P=(x,y,z)\) 到直线的距离,如果已知直线过点 \(Q=(x_0,y_0,z_0)\),作向量 \(\vec{PQ}\),

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可以看到

\begin{align*}d&=|RP|=|\overrightarrow{QP}|\cdot|\sin\theta|\\ &=|\overrightarrow{QP}|\cdot\frac{|\overrightarrow{QP}\times\vec{s}|}{|\overrightarrow{QP}|\cdot|\vec{s}|}\\ &=\frac{|\overrightarrow{QP}\times\vec{s}|}{|\vec{s}|}\\ &=\frac{|\overrightarrow{QP}\times (a,b,c)|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\end{align*}

所以 \(P=(x,y,z)\) 到直线的距离为

\[d=\frac{|\overrightarrow{QP}\times (a,b,c)|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]