旋转面、柱面和其它二次曲面

我们推导最常见的二次曲面:旋转面及柱面的方程,并且给出其它二次曲面的标准形式及图形。这些内容在我们学到重积分的时候要用到。

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1,旋转面:

(1)绕 \(z\) 轴旋转的旋转面为

\[z=f(\pm \sqrt{x^2+y^2}), \text{或者} F(z,\pm\sqrt{x^2+y^2})=0\]

这是 \(z=f(x)\) (\(z=f(y)\))绕 \(z\) 轴旋转而成的旋转面,或者 \(F(x,z)=0\)(\(F(y,z)=0\)) 绕 \(z\) 轴旋转而成的旋转面。

(2)绕 \(y\) 轴旋转的旋转面为

\[y=f(\pm\sqrt{x^2+z^2}),\text{或者} F(y,\pm\sqrt{x^2+z^2})\]

(3)绕 \(x\) 轴旋转的旋转面为

\[x=f(\pm\sqrt{y^2+z^2}),\text{或者} F(y,\pm\sqrt{y^2+z^2})\]

例1,\(z=x^2+y^2\) 是由 \(z=x^2\) 绕 \(z\) 轴旋转而成。这是因为 \(z=x^2+y^2=(\pm\sqrt{x^2+y^2})^2\)。

例2,\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{9}=1\) 这是 \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\) 或者 \(\frac{x^2}{4}+\frac{z^2}{9}=1\) 绕 \(x\) 轴旋转而成的旋转面。

2,柱面:少一个变量的方程就是柱面的方程,少的那个变量就是柱面的平行轴。方程本身所代表的曲线称为柱面的准线,平行于平行轴的直线称为直母线。

例如,\(y=x^2\) 为平行于 \(z\) 轴的柱面,\(xOy\) 平面上的曲线 \(y=x^2\) 称为柱面的准线,平行于 \(z\) 轴、通过准线的直线称为它的直母线。

3,其它二次曲面:

(1)椭圆锥面:\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2\) :

(2)椭球面:\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\) :

(3)单叶双曲面:\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\) :

(4)双叶双曲面:\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1\) :

(5)椭圆抛物面:\(\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) :

(6)双曲抛物面:\(\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) 。

这些曲面我们需要了解它们图形的大致模样。