方向导数、梯度、切平面与法线

我们给出方程导数和梯度的定义与计算方法。然后通过隐函数方程导出曲面的切平面和法线的方程。

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1,梯度:二维函数 \(\nabla f=(f_x,f_y)=f_x\cdot\vec{i}+f_y\cdot \vec{j}\)

三维函数 \(\nabla f=f=(f_x,f_y,f_z)=f_x\cdot\vec{i}+f_y\cdot \vec{j}+f_z\cdot\vec{k}\)

梯度是一个向量。

2,方向导数:函数在方向 \(\vec{u},|\vec{u}|=1\) 的方向导数定义为

\[D_{\vec{u}}=\frac{df}{d\vec{u}}=\nabla f\cdot \vec{u}\]

这里 \(\vec{u}\) 必须是单位向量。如果不是单位向量,需要先化成单位向量之后,再根据上面的公式计算。

在坐标表示下,\(\vec{u}=(u_1,u_2)\),二维函数的方向导数为

\[\frac{df}{d\vec{u}}=f_x\cdot u_1+f_y\cdot u_2\]

三维情形下,\(\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)\),方向导数为

\[\frac{df}{d\vec{u}}=f_x\cdot u_1+f_y\cdot u_2+f_z\cdot u_3\]

3,切平面:

(1)曲面由方程 \(F(x,y,z)=0\) 给出,它在 \((x_0,y_0,z_0)\) 处的切平面方程为

\[F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0\]

法线为 \[\frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}\]

(2)曲面由函数 \(z=f(x,y)\) 给出,它在 \((x_0,y_0,z_0)\) 处的切平面方程为

\[f_x\cdot(x-x_0)+f_y\cdot(y-y_0)-(z-z_0)=0\]

法线为\[\frac{x-x_0}{f_x}=\frac{y-y_0}{f_y}=\frac{z-z_0}{-1}\]

例1,设 \(f(x,y)=\sqrt{x-y}\),求 \(f(x,y)\) 在点 \((5,1)\) 处沿向量 \(\vec{v}=(12,5)\) 的方向的方向导数。

解:我们先将向量单位化,

\[\vec{u}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=\frac{1}{\sqrt{12^2+5^2}}(12,5)=\left(\frac{12}{13},\frac{5}{13}\right)\]

函数的梯度为 \(\nabla f=(f_x,f_y)=(\frac{1}{2\sqrt{x-y}},-\frac{1}{\sqrt{x-y}})\),在点 \((5,1)\) 处 \(\nabla f(5,1)=\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)\)

所以在点 \((5,1)\) 处沿向量 \(\vec{v}=(12,5)\) 的方向的方向导数为

\begin{align*}D_{\vec{u}}f&=\nabla f\cdot\vec{u}=\frac{1}{4}\cdot\frac{12}{13}-\frac{1}{4}\cdot\frac{5}{13}\\ &=\frac{7}{52}\end{align*}

例2,设 \(f(x,y,z)=z^3-x^2y\),求 \(f(x,y,z)\) 在点 \((1,6,2)\) 沿向量 \(\vec{v}=(3,4,12)\) 方向的方向导数。

解:先将向量单位化

\[\vec{u}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=\left(\frac{3}{13},\frac{4}{13},\frac{12}{13}\right)\]

函数的梯度为 \[\nabla f=(-2xy,-x^2,3z^2)\]

在点 \((1,6,2)\) 处的值为 \(\nabla f(1,6,2)=(-12,-1,12)\),所以

\[D_{\vec{u}}f=-12\cdot\frac{3}{13}-\frac{4}{13}+12\cdot\frac{12}{13}=\frac{104}{13}=8\]

例3,设曲面由方程 \(xe^{yz}=1\) 给出,求曲面在 \((1,0,5)\) 处的切平面与法线。

解:因为

\[F_x=e^{yz}, F_y=xze^{yz}, F_z=xye^{yz}, \quad \nabla F(1,0,5)=(1,5,0)\]

所以切平面方程为

\[(x-1)+5y=0\Longrightarrow x+5y=1\]

法线方程为

\[\frac{x-1}{1}=\frac{y}{5}=\frac{z-5}{0}\]

4,梯度方向是函数增长最快的方向,梯度的反方向是函数减少最快的方向。或者说,方向导数的最大值在梯度方向,方向导数的最小值在梯度负方向。