多元函数的极限、连续与偏导数

多元函数的极限与连续与一元函数的定义类似。我们需要注意的是,多元函数的极限,它的意义是沿任意的路径趋于某一点,极限都应该一致。所以求多元函数的极限,方法并不太多,但是要证明极限不存在,只需要找两个不同的方向,得到不同的极限即可。

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1,极限:多元函数的极限

\[\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=A\]

是指点 \((x,y)\) 沿任意方向趋近于 \((a,b)\) 时,极限为 \(A\)。所以如果要证明极限不存在,就只需要找到两个不同的方向,它们的极限不一样。而若要证明极限存在,一般只能应用极限的定义(\(\epsilon-\delta\) 语言)或者化成一元函数的极限来求。

例1,证明极限 \(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+2y^2}\) 不存在。

解:令 \((x,y)\) 沿 \(y=x\) 方向趋近于 \((0,0)\),则

\[\lim_{{(x,y)\to (0,0)}\atop{y=x}}\frac{xy}{x^2+2y^2}=\lim_{{x\to 0}\atop{y=x}}\frac{x^2}{x^2+2x^2}=\frac{1}{3}\]

令 \((x,y)\) 沿 \(y=0\) 方向趋近于 \((0,0)\),则

\[\lim_{{(x,y)\to (0,0)}\atop{y=0}}\frac{xy}{x^2+2y^2}=0\]

所以两个方向上的极限不相等,所以极限不存在。

例2,求极限 \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{5xy}\)。

解:令 \(u=xy\),则

\[\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{5xy}=\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{5u}=\frac{1}{5}\]

例3,证明极限 \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}\) 存在。

证明:因为

\[\left|\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}\right|\le \left|\frac{x^2y^2}{x^2}\right|=y^2\to 0\]

所以由夹挤原理,\(\displaystyle\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}=0\)

2,连续:若 \[\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=f(a,b)\]

我们称函数 \(f(x,y)\) 在点 \((a,b)\) 连续。

3,偏导数:设 \(z=f(x,y)\),则它在点 \((a,b)\) 处对 \(x\) 的偏导数定义为

\[\frac{\partial z}{\partial x}(a,b)=\lim_{x\to a}\frac{f(x,b)-f(a,b)}{x-a}\]

在点 \((a,b)\) 处对 \(y\) 的偏导数定义为

\[\frac{\partial z}{\partial y}(a,b)=\lim_{y\to b}\frac{f(a,y)-f(a,b)}{y-b}\]

在任意点 \((x,y)\) 处的偏导数定义为

\[\frac{\partial z}{\partial x}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}\]

\[\frac{\partial z}{\partial y}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}\]

从定义可以知道,求一个自变量的偏导数,就把其它的自变量都看成常数,应用一元函数的求导法则与求导公式来求。

例4,设 \(z=e^{x^2+y^2}\sin(xy)\),求 \(\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\)。

解:\begin{align*}\frac{\partial z}{\partial x}&=2xe^{x^2+y^2}\sin(xy)+ye^{x^2+y^2}\cos(xy)\end{align*}

\begin{align*}\frac{\partial z}{\partial y}&=2ye^{x^2+y^2}\sin(xy)+xe^{x^2+y^2}\cos(xy)\end{align*}

4,高阶偏导数:对一阶偏导数再求偏导数就是二阶偏导数,依此类推。

注意,一阶偏导数本身还是多元函数,所以每一个一阶偏导数还会有好几个偏导数。所以,二元函数有四个二阶偏导数,三元函数有九个二阶偏导数。

设 \(z=f(x,y)\),则它的一阶偏导数为

\[\frac{\partial z}{\partial x},\quad \frac{\partial z}{\partial y}\]

它的二阶偏导数为

\[\frac{\partial^2z}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=f_{xx},\quad\frac{\partial^2z}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=f_{xy}\]

\[\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=f_{yx},\quad\frac{\partial^2z}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=f_{yy}\]

对于混合偏导数,我们有如下 的定理。

定理:若 \(f_{xy},f_{yx}\) 都连续,则它们相等。

由这个定理,我们就可以知道,一般情况下,二元函数的二阶偏导数只有三个。三元函数的二阶偏导数有六个。