# 多元函数的极值与条件极值

1，极值的求法：

（1）先求出一阶导数为零的点：$$f_x(x,y)=0, f_y(x,y)=0$$ 求出临界点 $$(x_0,y_0)$$；

（2）若 $$f_{xx}(x_0,y_0)\cdot f_{yy}(x_0,y_0)-f^2_{xy}(x_0,y_0)>0$$ $$\Rightarrow$$ $$(x_0, y_0)$$ 是极值点，

（a）$$f_{xx}(x_0,y_0)<0$$，则 $$(x_0,y_0)$$ 是极大值点，$$f(x_0,y_0)$$ 是极大值；

（b）$$f_{xx}(x_0,y_0)>0$$，则 $$(x_0,y_0)$$ 是极小值点，$$f(x_0,y_0)$$ 是极小值。

（3）若 $$f_{xx}(x_0,y_0)\cdot f_{yy}(x_0,y_0)-f^2_{xy}(x_0,y_0)<0$$ $$\Rightarrow$$ $$(x_0, y_0)$$ 不是极值点，称为鞍点；

（4）若 $$f_{xx}(x_0,y_0)\cdot f_{yy}(x_0,y_0)-f^2_{xy}(x_0,y_0)=0$$ $$\Rightarrow$$ $$(x_0, y_0)$$ 不知道是不是极值点。

$f_x=\frac{1}{x+y}+2x=0,\quad f_y=\frac{1}{x+y}-1=0$

$\frac{1}{x+y}-1=\frac{1-x-y}{x+y}=0\Rightarrow x+y=1$

$\frac{1}{x+y}+2x=\frac{1+2x(x+y)}{x+y}=\frac{1+2x}{x+y}=0$

（2）$$\displaystyle f_{xx}=-\frac{1}{(x+y)^2}+2$$，$$\displaystyle f_{x,y}=-\frac{1}{(x+y)^2}$$，$$\displaystyle f_{yy}=-\frac{1}{(x+y)^2}$$，所以

$f_{xx}(-\frac{1}{2},\frac{3}{2})=1, \quad f_{xy}(-\frac{1}{2},\frac{3}{2})=-1, f_{yy}(-\frac{1}{2},\frac{3}{2})=-1$

（2）$$f_{xx}=6x, f_{yy}=6y, f_{x,y}=3$$，所以

$f_{xx}(-1,-1)\cdot f_{yy}(-1,-1)-f^2_{xy}(-1,-1)=(-6)\cdot(-6)-3^2=27>0$

$f_{xx}(0,0)\cdot f_{yy}(0,0)-f^2_{xy}(0,0)=0-3^2=-9<0$

2，条件极值：函数 $$f(x,y,z)$$ 在限制条件 $$g(x,y,z)$$ 下的条件极值的求法为：解方程

$\nabla f=\lambda \nabla g$

$\begin{cases}f_x=\lambda g_x\\ f_y=\lambda g_y\\ f_z=\lambda g_z\end{cases}$

$\begin{cases}yz=2\lambda x\\ xz=2\lambda y\\ xy=2\lambda z\end{cases}$

$x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}},\quad y=\frac{1}{\sqrt{3}},\quad z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

\begin{align*}f(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})&=f(-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})\\ &=f(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}})\\&=f(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}})\\&=\frac{1}{3\sqrt{3}}\end{align*}

\begin{align*}f(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})&=f(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})\\&=f(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}})\\&=f(-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}})\\&=-\frac{1}{3\sqrt{3}}\end{align*}是最小值。