向量的点积与叉积

我们复习向量的定义以及它们最重要的运算:点积与叉积。并且给出它们最重要的性质:两向量垂直等价于它们的点积为\(0\),两向量平行等价于它们的叉积为 \(0\)。

笔记下载:向量的点积与叉积

1,向量:既有大小又有方向的量称为向量。我们一般用带箭头的字母表示 \(\vec{a},\vec{b},\cdots\),等等。在图形上用有方向的线段表示。在坐标系下,向量可以用它的坐标表示 \(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\)。

2,向量的点积(内积,数量积):两向量的点积定义为\[\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\]\(\theta \) 为两个向量的夹角,\(0\le \theta\le\pi\)。

两向量的点积是一个数量,所以也称为数量积。

在坐标系下 \[\vec{a}\cdot\vec{b}=(a_1,a_2,a_3)\cdot(b_1,b_2,b_3)=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\]

3,两向量垂直的充分必要条件: \(\vec{a}\bot\vec{b}\) \(\Longrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b}=0\)。

4,向量的叉积(向量积、外积):两向量 \(\vec{a},\vec{b}\) 的叉积 \(\vec{a}\times\vec{b}\) 定义为

  • \(|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\);
  • \(\vec{a}\times\vec{b}\bot\vec{a},\vec{a}\times\vec{b}\bot\vec{b}\),且 \(\vec{a},\vec{b},\vec{a}\times\vec{b}\) 成右手系。

坐标系下,叉积的计算式为

\[\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\end{pmatrix}\]

5,两向量平行的充分必要条件:\(\vec{a}\parallel\vec{b}\Longrightarrow\vec{a}\times\vec{b}=0\)。

6,向量的投影:向量 \(\vec{v}\) 在向量 \(\vec{u}\) 上的投影为 \[\text{Proj}_{\vec{u}}\vec{v}=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|^2}\vec{u}\]

7,夹角与夹角的余弦:从点积的定义,可以得到两向量夹角的余弦

\[\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\]