二重积分的计算

二重积分计算的关键在于将二重积分化成二次积分,而化成二次积分的关键在于如何找到积分的上、下限及积分次序。

1,如果区域为 \(D=\{(x,y)| a\le x\le b, g_1(x)\le y\le g_2(x)\}\),

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则应当先积分 \(y\),再积分 \(x\)。\(y\) 的上下限是关于 \(x\) 的函数,上限是上曲线,下限是下曲线。积分为

\[\iint_Df(x,y)dA=\int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)dydx\]

2,如果区域为 \(D=\{(x,y)| h_1(y)\le x\le , g_2(y), c\le y\le d\}\),

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则先积分 \(x\),再积分 \(y\)。\(x\) 的积分上限为右边曲线,积分下限为左边曲线,

\[\iint_Df(x,y)dA=\int_c^d\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}f(x,y)dxdy\]

3,如果区域的上、下曲线不是同一个表达式,或者左、右曲线不是同一个表达式,则将区域分成几个部分,每一个部分的上、下曲线应该是一致的。例如 \(D=D_1+D_2\)

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则积分为

\begin{align*}\iint_Df(x,y)dA&=\iint_{D_1}f(x,y)dA+\iint_{D_2}f(x,y)dA\\ &=\int_a^c\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)dydx+\int_c^b\int_{g_3(x)}^{g_4(x)}f(x,y)dydx\end{align*}

例1,计算 \(\displaystyle\iint_D(x^2+y^2)dA\),其中 \(D\) 是由 \(y=2x\) 和 \(y=x^2\) 所围成的区域。

解:首先求出交点

\[\begin{cases}y=2x\\ y=x^2\end{cases}\] 交点为 \((0,0)\) 和 \((2,4)\)。图形如下:

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这种形状的图形,即可以先积分 \(y\),也可以先积分 \(x\),具体看被积函数的情况。这里两种顺序都可以。我们先积分 \(y\),区域的表达式为

\[D=\{(x,y)|0\le x\le 2, x^2\le y\le 2x\}\]

所以积分为

\begin{align*}\iint_Df(x,y)dA&=\int_0^2\int_{x^2}^{2x}(x^2+y^2)dydx\\ &=\int_0^2(x^2y+\frac{1}{y^3})\Big|_{x^2}^{2x}\\ &=\int_0^2(2x^3+\frac{8}{3}x^3-x^4-\frac{1}{3}x^6)dx\\ &=\int_0^2(\frac{14}{3}x^3-x^4-\frac{1}{3}x^6)dx\\&=\frac{7}{6}x^4-\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{21}x^7\Big|_0^2=\frac{216}{35}\end{align*}

例2,云计算 \(\displaystyle\iint_DxydA\),其中 \(D\) 是由 \(y=x-1\) 和 \(y^2=2x+6\) 所围成。

解,可以求出交点为 \((-1,-2)\) 和 \((5,4)\),积分区域如图

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这个积分最好先积分 \(x\),这是因为如果先积分 \(y\) 的话,就需要将区域分成两个部分来求。先积分 \(x\),上限为右边曲线 \(x=y+1\),下限为左边曲线 \(x=\frac{y^2}{2}-3\),积分区域的表达式为 \[D=\{(x,y)| y+1\le x\le \frac{y^2}{2}-3\}, -2\le y\le 4\]

所以积分为

\begin{align*}\iint_DxydA&=\int_{-2}^4\int_{y+1}^{\frac{y^2}{2}-3}xydxdy=\int_{-2}^4\frac{1}{2}x^2y\Big|_{y+1}^{\frac{y^2}{2}-3}dy\\ &=\int_{-2}^4\frac{y}{2}((y+1)^2-(\frac{y^2}{2}-3)^2)dy\\ &=\frac{1}{2}\int_{-2}^4y(4y^2-\frac{y^4}{4}+2y-8)dy\\ &=\frac{1}{2}(y^4-\frac{1}{24}y^6+\frac{2}{3}y^3-4y^2)\Big|_{-2}^4\\ &=36\end{align*}

例3,计算 \(\displaystyle\int_0^1\int_{\sqrt{x}}^1e^{y^3}dydx\)。

解:先积分 \(y\) 的话,我们不知道 \(e^{y^3}\) 的原函数是什么。所以可行的办法就是先积分 \(x\),这就需要交换积分次序。由积分上、下限的表达式,区域可表示为

\[D=\{(x,y)|0\le x\el 1,\sqrt{x}\le y\le 1\}\]

由这个区域的表达式,画出积分区域的图形

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由上面的图形,可以将区域表示为

\[D=\{(x,y)|0\le x\le y^2, 0\le y\le 1\}\]

所以积分可表示为

\begin{align*}\int_0^1\int_{\sqrt{x}}^1e^{y^3}dydx&=\int_0^1\int_0^{y^2}e^{y^2}dxdy=\int_0^1e^{y^3}x\Big|_0^{y^2}dy\\&=\int_0^2y^2e^{y^3}dy=\frac{1}{3}e^{y^3}\Big|_0^1=\frac{1}{3}(e-1)\end{align*}