连续函数的运算与性质

连续函数的运算,包括函数的加、减、乘、除,以及复合等运算。连续函数的四则运算及复合在其定义域内还是连续函数。另外,闭区间上的连续函数还有一些性质,例如它具有最大值最小值,有介值定理以及零点存在定理等。

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从极限的四则运算,我们可以直接得到下列的:

定理1:假设 \(f(x), g(x)\) 在 \(x=a\) 处连续,则\[f(x)\pm g(x), f(x)\cdot g(x), \frac(f(x))(g(x))(g(a)\ne 0), [f(x)]^n\] 都在 \(x=a\) 处连续。

由复合函数的极限运算法则,我们可以得到复合函数的连续性:

定理2:若 \(f(x)\) 在 \(x=b\) 处连续,\(g(x)\) 在 \(x=a\) 处连续且 \(g(a)=b\),则函数 \(f(g(x))\) 在 \(x=a\) 处连续且 \(f(g(a))=f(g(a))=f(b)\)。

我们还可以得到反函数的连续性。

定理3:若 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上有反函数 \(f^{-1}(x)\), \(f(x)\) 在 \(x=c\) 处连续, \(f(c)=l\),则 \(f^{-1}(x)\) 在 \(x=l\) 处连续且 \(f^{-1}(l)=c\)。

对于基本初等函数,就是幂函数,三角函数,反三角函数,指数函数与对数函数,我们有下列的结论:

定理4:基本初等函数在其定义域内都是连续的。

再由上述几个定理,我们有

定理5:初等函数在其定义域内都是连续的。

所谓的初等函数,就是基本初等函数经过有限次的四则运算与复合而成的函数。

以上的几个定理都是函数的连续性的结论。对于闭区间上的连续函数本身,我们还有一些重要的性质。

定理6:(最大、最小值定理)闭区间上的连续函数,在该区间上有界且一定能在该区间取到它的最大值与最小值。

这个定理证明还是需要实数的基本性质,我们略过。

定理7:(介值定理)设 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续,则对于任何介于 \(f(a)\) 与 \(f(b)\) 之间的任一值 \(c\),在区间 \((a,b)\)内,至少存在一点 \(\xi\in(a,b)\),使得 \(f(\xi)=c\)。

定理8:(零点存在定理)设 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续,\(f(a\cdot f(b)\<0),则在区间 \((a,b)\)内,至少存在一点 \(\xi\in(a,b)\),使得 \(f(\xi)=0\)。

这个零点存在定理,是介值定理的直接推论。

对于介值定理,我们有下列的变形:

定理9:(介值定理)设 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续,则对于任何介于最大值 \(M\) 与最小值之间的任一值 \(c\),在区间 \((a,b)\)内,至少存在一点 \(\xi\in(a,b)\),使得 \(f(\xi)=c\)。

连续函数的性质,通常在证明一些命题上需要用到。我们也可以用介值定理或者零点存在定理来证明函数零点或者方程的根的存在性。

例1:证明函数 \(f(x)=x^3-4x^2+1\) 在区间 \([0,1]\) 上至少存在一个根。

证明:因为 \(f(0)=1, f(1)=-2\), 所以 \(f(0)\cdot f(x)<0\),由零点存在定理,一定存在一点 \(c\in (0,1)\),使得 \(f(c)=0\)。

例2:证明方程 \(\sqrt{2x+5}=4-x^2)\) 至少存在一个解。

证明:我们记 \(f(x)=\sqrt{2x+5}-4+x^2\),那么 \(f(x)\) 在 \(x\ge -\frac{5}{2}\) 连续。\(f(0)=\sqrt{5}-4<0, f(2)=3\), 所以 \(f(0)\cdot f(2)<0\)。由零点存在定理,在区间 \((0,2)\) 上,\(f(x)\) 至少存在一点 \(c\in(0,2)\),使得 \(f(c)=0\),即 \(\sqrt{2c+5}=4-c^2\)。