极限的四则运算与初等方法

我们给出极限的加、减、乘、除运算法则。以及当四则运算不能运用的时候,一些计算极限的初等方法。这些方法包括约掉公因子,函数有理化等。

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我们求极限的第一个方法是极限的运算法则。我们叙述极限的运算法则而不去证明它们,证明要留到我们有了极限的严格定义之后才进行。

定理1:(极限的运算法则)若 \(\lim_{x\to a}f(x)=A, \lim_{x\to a}g(x)=B\),则

  • \(\lim_{x\to a }C\cdot f(x)=C\lim_{x\to a}f(x)=C\cdot A\);
  • \(\lim_{x\to a}f(x)\pm g(x)=\lim_{x\to a}f(x)\pm \lim_{x\to a}g(x)=A\pm B\);
  • \(\lim_{x\to a}f(x)\cdot g(x)=\lim_{x\to a}f(x)\cdot \lim_{x\to a}g(x)=A\cdot B\);
  • \(\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}=\frac{A}{B}, \quad B\ne 0\);
  • \(\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=\lim_{x\to a}f(x)^{\lim_{x\to a}g(x)}=A^B\);
  • \(\lim_{x\to a}[f(x)]^n=[\lim_{x\to a}f(x)]^n=A^n\);
  • 若 \(\lim_{x\to a}f(x)=A, \lim_{x\to A}g(x)=B\), 则 \(\lim_{x\to a}g(f(x))=\lim_{u\to A}g(u)=B\)。

最后这个是复合函数的求极限法则,它是我们求极限的时候,可以进行变量代换的依据。极限的运算法则,基本上可以看成是,如果函数满足定理的条件,我们可以用函数值代替极限值。

例如,\[ \lim_{x\to 2}\frac{5x^3+4}{x-3}=\frac{43}{-1}=-43 \]

如果极限的运算法则不能应用的时候,我们可以有一些初等的方法,例如约去公因子,通分,有理化等等方法。我们来看一些例子。

例1:求极限 \(\lim_{x\to3}\frac{x^2-6x+9}{x-3}\)。

解:我们看到这个极限,如果直接用函数值代入,我们发现分子分母都是 \(0\),所以商的运算法则不能应用。但是因为 \(x\) 是趋近于 \(3\) 但不是等于 \(3\),所以\(x-3\) 不等于 \(0\),我们对分子分解因式,得到\[ \lim_{x\to3}\frac{x^2-6x+9}{x-3} =\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)^2}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x-3)=0\]

例2:求极限\(\lim_{x\to -4}\frac{2x+8}{x^2+x-12}\)。

解:我们可以先分解因式:

\[ \lim_{x\to -4}\frac{2x+8}{x^2+x-12}=\lim_{x\to -4}\frac{2(x+4)}{(x+4)(x-3)}=\lim_{x\to -4}\frac{2}{x-3}=-\frac{2}{7} \]

例3:求极限\(\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}\)。

解:因为分子分母都趋于 \(0\),所以不能应用极限的运算法则。我们先对函数进行变形,对分子有理化\[\begin{align*} \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x} &= \lim_{x\to0}\frac{(\sqrt{x+4}-2)( \sqrt{x+4}+2 )}{x( \sqrt{x+4}+2 )}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{x}{x ( \sqrt{x+4}+2 ) }\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{1}{ \sqrt{x+4}+2 )}=\frac{1}{4} \end{align*}\]

例4:求极限 \(\lim_{x\to 0}(\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2+2x})\)。

解:因为两项的极限都不是有限数,所以不能直接应用极限的运算法则。我们先通分

\[ \lim_{x\to 0}(\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2+2x}) = \lim_{x\to 0}\frac{x+2-2}{x^2+2x}=\lim_{x\to0}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{2} \]