无穷小与无穷大

无穷小是极限为 \(0\) 的量,无穷大为极限的绝对值可以大于任意数的量。在一个极限过程中为无穷小,那么它的倒数为无穷大。

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1,无穷小:极限为 \(0\) 的量称为无穷小(无穷小量),即 \(\lim_{x\to a}f(x)=0\),我们称 \(f(x)\) 为 \(x\to a\) 时的无穷小(量)。

2,无穷大:极限的绝对值可以大于任意给定的正数,我们称之为无穷大(量)。即 \(\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\),我们称 \(f(x)\) 为 \(x\to a\) 时的无穷大(量)。

3,无穷小与无穷大互为倒数关系,即我们有如下的

定理:\[\lim_{x\to a}f(x)=0\Leftrightarrow \lim_{x\to a}\frac{1}{f(x)}=\pm\infty\]

例如:\[\lim_{x\to 0}x^2=0, \quad \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty\]

\[\lim_{x\to 0}x=0,\quad \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty,\quad \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty\]

4,无穷小的阶。无穷小之间可以比较它们趋于 \(0\) 的快慢,这就是无穷小的阶的概念。

定义:设 \(\lim_{x\to a}\alpha=0,\lim_{x\to a}\beta=0\),若

  • \(\lim_{x\to a}\frac{\alpha}{\beta}=0\),我们称 \(\alpha\) 是 \(\beta\) 的高阶无穷小,\(\beta\) 是 \(\alpha\) 的低阶无穷小,记为 \(\alpha=o(\beta)\)(小写字母 o);
  • \(\lim_{x\to a}\frac{\alpha}{\beta}=K\),\(K\) 为一不等于 \(0\) 的常数,我们称 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 是同阶无穷小,记为 \(\alpha=O(\beta)\)(大写字母 O);
  • \(\lim_{x\to a}\frac{\alpha}{\beta}=1\),我们称 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 是等价无穷小,记为 \(\alpha\sim\beta)\);

等价无穷小可以用来简化极限的计算,还有一些理论上的应用。但事实上我们一般不太用等价无穷来计算极限,因为等价无穷小一般是用别的极限计算方法得来的。而且一般能用等价无穷小的地方,都可以用其它方法来计算极限。

我们列举一下常用的等价无穷小。

当 \(x\to0\)时,\[x\sim \sin x, \quad x\sim\tan x,\quad x\sim e^x-1,\quad x\sim \ln(1+x)\]