数列的极限

数列可以认为是一种特殊的函数,它是自然数的函数,数列的极限,默认为极限过程为 \(n\to\infty\)。这种极限同样可以运用极限的运算法则,也有其它的一些方法来计算它们极限。

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1,数列。数列我们通常写成 \(\{a_n\}\) 或者 \(\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\),它可以认为是一种特殊的函数,它的自变量取值为自然数。

2,数列极限的定义:当 \(n\) 不断增大时, \(a_n\) 无限接近于数 \(A\),我们称 \(A\) 为数列 \(\{a_n\}\) 的极限。记为\[\lim_{n\to\infty}a_n=A\]

3,数列极限的求法与函数在无穷远处的极限的求法类似,也有类似的基本结论。

例1:求数列 \(\{\frac{n}{n+1}\}\) 的极限。

解:分子分母同除以 \(n\),我们得到\[\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=1\]

例2:求极限 \[\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+5n-3}{2n^2-7}\]

解:\[\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+5n-3}{2n^2-7}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{5}{n}-\frac{3}{n^2}}{2-\frac{7}{n^2}}=\frac{1}{2}\]

例3:求极限 \(\lim_{n\to\infty}\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)。

解:先有理化。\[\lim_{n\to\infty}\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0\]

例4:求极限 \(\lim_{n\to\infty}\frac{1+a+a^2+\cdots+a^n}{1+b+b^2+\cdots+b^n}\)(\(|a|<1,|b|<1\))。

解:由几何级数的公式,\[\lim_{n\to\infty}\frac{1+a+a^2+\cdots+a^n}{1+b+b^2+\cdots+b^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1-a^{n+1}}{1-a}}{\frac{1-b^{n+1}}{1-b}}\]因为 \(a^{n+1}\to0, b^{n+1}\to0\),所以\[\lim_{n\to\infty}\frac{1+a+a^2+\cdots+a^n}{1+b+b^2+\cdots+b^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1-a^{n+1}}{1-a}}{\frac{1-b^{n+1}}{1-b}}=\frac{1-b}{1-a}\]