单调有界定理与两个重要极限(二)

单调有界定理是极限存在的第二个重要准则。它的结论是:单调有界数列必有极限。由单调有界定理,我们可以证明第二个重要的极限:

\[\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=e\]

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极限的第二个存在准则是:单调有界数列必有极限。这个准则可以当成是一个公理来用,如果要证明这个准则,需要用到实数的基本公理,我们就不去深入了解了。

单调有界准则,可以分成两种情况:第一种,单增有上界;第二种,单减有下界。因为单增的话,第一项就是它的下界,所以只要它有上界,它就是有界的;单减的话,第一项就是它的上界,所以只要它有下界,它也就是有界的。

由这个存在准则,我们可以证明下列极限\[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\]

证明:我们的目的是证明这个数列是单增的,而且它有上界,那么由单调有界准则,就可以得到结论,它是有极限的。

我们将括号用二项式定理展开,就有

\[\begin{align*}x_n =\left(1+\frac{1}{n}\right)^n &= 1+n\cdot \frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2} \left(\frac{1}{n}\right)^2+\cdots+\frac{n!}{n!} \left(\frac{1}{n}\right)^{n} \\ &=1+1+\frac{1}{2!}\cdot\frac{n(n-1)}{n^2}+\cdots+\frac{1}{n!}\cdot\frac{n!}{n^n}\\ &=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\cdots+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots(1-\frac{n-1}{n})\end{align*}\]

我们同样将 \(x_{n+1}\) 用二项式定理展开, 就有

\[\begin{align*}x_{n+1} =\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} &= 1+(n+1)\cdot \frac{1}{n+1}+\frac{(n+1)n}{1\cdot 2} \left(\frac{1}{n+1}\right)^2+\cdots+\frac{(n+1)!}{(n+1)!} \left(\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \\ &=1+1+\frac{1}{2!}\cdot\frac{n(n+1)}{(n+1)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+1)!}\cdot\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\\ &=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n+1})+\cdots+\\ &\quad +\frac{1}{(n+1)!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots +(1-\frac{n}{n+1})\end{align*}\]

我们发现,前面 \(n+1\) 项,除了第一、第二项外,\(x_{n+1}\) 的每一项都比 \(x_n\) 的对应项大,而且 \(x_{n+1}\) 比 \(x_n\) 还多出了一项,这一项是正的,所以我们得到结论\[x_{n+1}>x_n\]所以数列是单调增加的。

我们现在证明这个数列是有上界的。

\[\begin{align*}x_n = &=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\cdots+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots(1-\frac{n-1}{n})\\ &\le 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}\cdots+\frac{1}{n!}\\ &\le 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}\cdots+\frac{1}{2^{n-1}} \\ &=1+\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}\le 3\end{align*}\]

从而这个数列是有界的,因而它是有极限的。这个极限我们记为 \(e\),也就是说

\[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\]