函数的连续性与间断点

我们说函数在一点处连续是指 \[\lim_{x\to a}f(x)=f(a),\]也就是说函数在一点处连续,就是它在这一点的极限值等于函数值。如果这个条件不满足,就称这个函数在这一点处“间断”。

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之前我们在讲单侧极限的时候,我们知道,函数在一点处的极限存在,充分必要条件是函数在这一点处的左右极限存在且相等。也就是说 \[\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a}f(x).\]由这个定理及我们上面的定义,函数在一点 \(x=a\) 处连续包含了三个条件:

  • 函数在 \(x=a \) 处有定义,即 \(f(a)\) 有意义;
  • 函数在 \(x=a\) 的左右极限存在且相等;
  • 函数在 \(x=a\) 的极限等于函数值。

如果上面三个条件的任何一个不满足,则函数在该点处不连续。根据条件不满足的情况,我们可以为间断点作一个分类:

  • 左右极限存在且相等,但函数在这一点没有定义,这一类间断点称为可去间断点;
  • 左右极限存在,但不等于函数值,也称为可去间断点;
  • 左右极限存在但不相等(不是无穷大,无穷大是极限不存在的一种情况),称之为跳跃间断点;
  • 左右极限有一个为无穷大,称之为无穷间断点;
  • 左右极限都不存在,也不为无穷大,称之为振荡间断点。

对于可去间断点,我们可以修改函数在该点的值,从而使新的函数在该点连续。

对于连续性与间断点的理论,我们常见的问题有几个:其一是找出函数所有间断点并判断其类型,如果是可去间断点,则修改其函数值使其在该点连续;其二是求未知常数,使得函数处处连续。我们来看几个这样的例题。

例1:求函数 \(f(x)=\frac{x+2}{x^2-4}\) 的所有间断点并判断其类型,若为可去间断点,修改函数值使其在该点连续。

解:我们知道函数在 \(x=\pm 2\) 处没有定义,其它地方都有定义,而且函数是有理函数,所以有定义的地方都连续。所以我们只需要考虑\(x=\pm 2\) 这两点。

因为

\[\lim_{x\to -2}\frac{x+2}{x^2-4}=\lim_{x\to -2}\frac{x+2}{(x+2)(x-2)}=\lim_{x\to -2}\frac{1}{x-2}=-\frac{1}{4}\]所以函数在 \(x=-2\) 这一点极限存在,所以这一点为可去间断点。

我们重新定义 \(f(-2)=-\frac{1}{4}\),也就是\[f(x)=\begin{cases}\frac{x+2}{x^2-4},\quad & x\ne 2;\\ -\frac{1}{4},& x=-2\end{cases}\]那么 \(f(x)\) 在 \(x=-2\) 处是连续的。

现在考虑 \(x=2\),因为\[\lim_{x\to 2}\frac{x+2}{x^2-4}=\lim_{x\to 2}\frac{1}{x-2}=\infty\]在 \(2\) 左边是负无穷大,在右边是正无穷大,所以 \(x=2\) 是函数的无穷间断点。

例2:求常数 \(a,b\) 使得函数 \[f(x)=\begin{cases}x^2+5, & x>2\\ a(x+1)+b, \quad & -1\le x\le 2\\ 2x^3+x+7, & x\le -1\end{cases}\] 处处连续。

解:因为函数除了在分段点以外,都是多项式, 我们知道多项式对所有值都是连续的。所以我们只需要考虑在分段点的情况。

在 \(x=2\) 处, 左极限为 \[\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^-}a(x+1)+b=3a+b\]右极限为\[\lim_{x\to 2^+}f(x)=\lim_{2^+}x^2+5=9\]所以由连续的性质,左右极限相等,我们得到(函数值等于左极限,因为等号在左边部分,而左边部分是连续的)\[3a+b=9\]

再考虑 \(x=-1\) 处的情况。左极限为\[\lim_{x\to -1^-}f(x)=\lim_{x\to-1^-}2x^3+x+7=4\]右极限为\[\lim_{x\to-1^+}f(x)=\lim_{x\to-1^+}a(x+1)+b=b\]所以我们得到 \(b=4\),代入到上面那个方程里去,我们得到 \(a=\frac{5}{3}\)