函数在无穷远处的极限

当自变量的绝对值越来越大,或者自变量变得越来越大的时候,函数的变化趋势,就是函数在无穷远处的极限。我们给出这种极限的定义,以及这种极限的常用求法。

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我们可以直观地定义函数在无穷远处的极限。

1,定义:当 \(x\) 无限增大时,函数 \(f(x)\) 无限接近于数 \(A\),我们称 \(A\) 为函数 \(f(x)\) 在正无穷远处的极限。记为 \[\lim_{x\to+\infty}f(x)=A\]更严格一点的说法是:当 \(x\) 足够大时,函数 \(f(x)\) 与数 \(A\) 之间的距离可以任意小。

同样,我们定义 \(f(x)\) 在负无穷远处的极限。当 \(x\) 无限不断变小时,函数 \(f(x)\) 无限接近于数 \(A\),我们称 \(A\) 为函数 \(f(x)\) 在正无穷远处的极限。记为 \[\lim_{x\to-\infty}f(x)=A\]

2,由无穷远处的极限的定义,我们有下列的基本事实:\[\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0,\quad\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0\]

\[\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty,\quad \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty\]

\(n\) 为自然时, \[\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty,\quad \lim_{x\to-\infty}x^n=\begin{cases}+\infty,\quad& n=2m\\ -\infty, & n=2m+1\end{cases}\]

3,常见函数在无穷远处的极限:\[\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty,\quad \lim_{x\to-\infty}e^x=0, \quad \lim_{x\to +\infty}\ln x=+\infty\]

\[\lim_{x\to+\infty}\arctan x=\frac{\pi}{2},\quad \lim_{x\to-\infty}\arctan x=-\frac{\pi}{2}\]

4,无穷远处的极限的计算。对有理函数来说,我们可以直接比较无穷大的阶,或者说,直接除以分子或者分母的最高阶项,就可以得到极限值。另外,我们之前学过的四则运算及一些初等技巧,都可以在这里用。

我们先来看一下怎么比较无穷大的阶。我们的基本方法就是除以分子或者分母的最高阶。

例1:\begin{align*}(1)&\lim_{x\to+\infty}\frac{3x+5}{6x-8}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{3x}{x}+\frac{5}{x}}{\frac{6x}{x}-\frac{8}{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{3+\frac{5}{x}}{6-\frac{8}{x}}=\frac{1}{2}\\ (2)&\lim_{x\to-\infty}\frac{5x^2+7}{3x^2-5}=\lim_{x\to-\infty}\frac{5+\frac{7}{x^2}}{3-\frac{5}{x^2}}=\frac{5}{3}\\ (3)&\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2+x+1}{x^3-3x+5}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}}{1-\frac{3}{x^2}+\frac{5}{x^3}}=0\\ (4)&\lim_{x\to+\infty}\frac{7-6x^5}{x+5}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{7}{x^5}-6}{\frac{1}{x^4}+\frac{5}{x^5}}=-\infty\end{align*}

有根号的时候,我们也可以比较无穷大的阶,但是需要注意正负号。

例2:求极限 \[(1)\quad \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{5x^2-2}}{x+3},\qquad (2)\quad \lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{5x^2-2}}{x+3}\]

解:(1)我们把分子分母同除以 \(x\),注意到 \(x>0, x=\sqrt{x^2}\),所以 \[\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{5x^2-2}}{x+3}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{\sqrt{5x^2-2}}{x}}{\frac{x+3}{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{\sqrt{5x^2-2}}{\sqrt{x^2}}}{1+\frac{3}{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{5-\frac{2}{x^2}}}{1+\frac{3}{x}}=\sqrt5\]

(2)我们同样把分子分母同除以\(x\),注意到 \(x<0, x=-\sqrt{x^2}\),所以 \[\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{5x^2-2}}{x+3}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{\sqrt{5x^2-2}}{x}}{\frac{x+3}{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{\sqrt{5x^2-2}}{-\sqrt{x^2}}}{1+\frac{3}{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-\sqrt{5-\frac{2}{x^2}}}{1+\frac{3}{x}}=-\sqrt5\]

上面的例子说明了,如果有根号,我们要注意的地方。

现在我们来看一下,别的初等方法的应用。

例3:求极限 \[(1)\quad \lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x},\qquad(2)\quad\lim_{x\to-\infty}\sqrt{x^2+3x}+x\]

解:(1)我们对函数有理化,\begin{align*}\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}&= \lim_{x\to+\infty}\frac{(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x})(\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x})}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}}\\&=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+x-x^2+x}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}}\\&=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}}=1\end{align*}

最后第二个等式,我们将分子分母同除以 \(x\),再应用了上题的方法。

(2)同样的,我们对函数有理化(因为极限是 \(\infty-\infty\)情形,不能直接应用极限运算法则)\begin{align*}\lim_{x\to-\infty}\sqrt{x^2+3x}+x&=\lim_{x\to-\infty}\frac{(\sqrt{x^2+3x}+x)(\sqrt{x^2+3x}-x)}{\sqrt{x^2+3x}-x}\\&=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2+3x-x^2}{\sqrt{x^2+3x}-x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}-x}\\&=\lim_{x\to-\infty}\frac{3}{-\sqrt{1+\frac{3}{x}}-1}=-\frac{3}{2}\end{align*}

倒数第二个等式,是因为分子分母同除以 \(x\),并且应用了 \(x=-\sqrt{x^2}\) 这一事实。