齐次方程

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形如 \(\displaystyle y’=f(\frac{y}{x})\) 的微分方程,称为齐次方程。我们只需要对方程做变换 \(u=\frac{y}{x})\),就可以将它化为可分离变量的微分方程,因为

\[u=\frac{y}{x}, y=xu, y’=\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}\]

那么\[u+x\frac{du}{dx}=f(u),\quad\Rightarrow\quad x\frac{du}{dx}=f(u)-u\]这就是一个可分离变量的微分方程。

例1:解方程 \(\displaystyle y’=\frac{y+xe^{-\frac{y}{x}}}{x}\)。

解:方程变形为 \[y’\frac{y}{x}+e^{-\frac{y}{x}}\]

做变换 \(u=\frac{y}{x}\),则 \(y’=u+x\frac{du}{dx}\)

\begin{align*}u+x\frac{du}{dx}=u+e^{-u}&\Rightarrow\quad x\frac{du}{dx}=e^{-u}\\ &\Rightarrow\quad e^udu=\frac{dx}{x}\\&\Rightarrow\quad \int e^udu=\int \frac{dx}{x}\\ &\Rightarrow\quad e^u=\ln|x|+C\\& \Rightarrow\quad u=\ln(\ln|x|+C)\\ &\Rightarrow\quad \frac{y}{x}=\ln(\ln|x|+C)\\ &\Rightarrow\quad y=x\ln(\ln|x|+C)\end{align*}

例2:解方程 \(x^2y’=y^2+xy-x^2\)。

解:将方程两边除以 (x^2\),

\[y’=\left(\frac{y}{x}\right)^2+\frac{y}{x}-1\]

做变换 \(\displaystyle u=\frac{y}{x}\),则 \(\displaystyle y’=u+\frac{du}{dx}\),

\begin{align*}u+\frac{du}{dx}=u^2+u-1 &\Rightarrow \quad x\frac{du}{dx}=u^2-1\\ &\Rightarrow \quad \frac{du}{u^2-1}=\frac{dx}{x}\\ &\Rightarrow \quad \int\frac{du}{u^2-1}=\int\frac{dx}{x}\end{align*}

利用有理函数的部分分式法,

\[\frac{1}{u^2-1}=\frac{1}{(u-1)(u+1)}=\frac{A}{u-1}+\frac{B}{u+1}\]

我们求出 \(A=\frac{1}{2}, B=-\frac{1}{2}\),所以

\begin{align*}\int\frac{du}{u^2-1}=\int\frac{dx}{x}&\Rightarrow\quad \frac{1}{2}\int\frac{du}{u-1}-\frac{1}{2}\int\frac{du}{u+1}=\frac{dx}{x}\\ &\Rightarrow\quad \frac{1}{2}\ln|u-1|-\frac{1}{2}\ln|u+1|=\ln|x|+C\\ &\Rightarrow\quad \frac{1}{2}\ln|\frac{u-1}{u+1}|=\ln|x|+C\end{align*}

我们将 \(C\) 用 \(\ln C\) 代替,\(\ln|x|+\ln C=\ln|Cx|\),所以

\begin{align*}\frac{1}{2}\ln|\frac{u-1}{u+1}|=\ln|x|+C &\Rightarrow\quad \ln|\frac{u-1}{u+1}|=2\ln|Cx|\\ &\Rightarrow\quad \frac{u-1}{u+1}=Cx^2\\ &\Rightarrow\quad y-x=Cx^2(y+x)\\ &\Rightarrow\quad y(-1Cx^2)=Cx^3++x\\ &\Rightarrow\quad y=\frac{x(1+Cx^2)}{1-Cx^2}\end{align*}

这就是方程的通解。