非齐次线性微分方程的常数变易法

在讲述一阶线性微分方程时,我们已经见过了常数变易法的使用。将齐次线性微分方程里的常数用函数代替,然后代入非齐次微分方程里去,求出这些函数,就得到了非齐次线性微分方程的通解,这种方法就称之为常数变易法(将常数变成函数)。

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1,二阶非齐次线性微分方程的常数变易法:假设 \(y_1,y_2\) 是齐次线性微分方程 \(y^{\prime\prime}+p(x)y’+q(x)y=0\) 的两个线性无关的解,则非齐次方程 \(y^{\prime\prime}+p(x)y’+q(x)y=f(x)\) 的通解可设为

\[y=C_1(x)y_1+C_2(x)y_2\]

现在我们来给出 \(C_1(x),C_2(x)\) 的公式。\[y’=C_1′(x)y_1+C_1(x)y_1’+C’_2(x)y_2+C_2(x)y’_2\]

因为 \(y\) 的表达式里面有两个未知函数,它需要两个方程来确定。微分方程给出了第一个,还需要一个。我们选择第二个方程为 \[C_1′(x)y_1+C’_2(x)y_2=0\]

这样的话,

\[y’=C_1(x)y_1’+C_2(x)y_2’\]\[y^{\prime\prime}=C’_1(x)y_1’+C_1(x)y_1^{\prime\prime}+C’_2(x)y_2’+C_2(x)y_2^{\prime\prime}\]

代入到微分方程里去,我们有

\begin{align*}y^{\prime\prime}+p(x)y’+q(x)y&=C’_1(x)y_1’+C_1(x)y_1^{\prime\prime}+C’_2(x)y_2’+C_2(x)y_2^{\prime\prime}\\ &\quad+p(x)(C_1(x)y_1’+C_2(x)y_2′)+q(x)(C_1(x)y_1+C_2(x)y_2)\\ &=C_1′(x)y_1’+C’_2(x)y_2’+C_1(x)(y_1^{\prime\prime}+p(x)y_1’+q(x)y_1)\\ &\quad +C_2(x)(y_2^{\prime\prime}+p(x)y_2’+q(x)y_2)\\&=f(x)\end{align*}

因为 \(y_1,y_2\) 是齐次线性微分方程 \(y^{\prime\prime}+p(x)y’+q(x)y=0\) 的解,所以

\[y_1^{\prime\prime}+p(x)y_1’+q(x)y_1=0,\quad y_2^{\prime\prime}+p(x)y_2’+q(x)y_2=0\]

从而,上面的等式变成 \[C’_1(x)y_1’+C’_2(x)y_2’=f(x)\] 加上条件 \[C’_1(x)y_1+C’_2(x)y_2=0\]

我们知道 \(C_1(x), C_2(x)\) 满足方程组

\[\begin{cases}C’_1(x)y_1+C’_2(x)y_2=0\\C’_1(x)y_1’+C’_2(x)y_2’=f(x)\end{cases}\]

解此方程组,我们得到

\[C’_1(x)=\frac{-y_2f(x)}{y_1y_2′-y_1’y_2},\quad C’_2(x)=\frac{y_1f(x)}{y_1y_2′-y_1’y_2}\]

所以 \[C_1(x)=D_1-\int \frac{y_2f(x)}{y_1y_2′-y_1’y_2}dx,\quad C_2(x)=D_2+\int \frac{y_1f(x)}{y_1y_2′-y_1’y_2}dx\]

2,朗斯基(Wrongsky)行列式:

\[W=\begin{vmatrix}y_1&y_2\\ y’_1&y’_2\end{vmatrix}=y_1y_2′-y_1’y_2\]称为 \(y_1,y_2\)的朗斯基行列式

这个定义可以推广到 \(n\) 个函数 \(y_1,y_2,\cdots,y_n\),

\[W=\begin{vmatrix}y_1&y_2&\cdots&y_n\\ y’_1&y’_2&\cdots&y_n’\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ y_1^{n-1}&y_2^{n-1}&\cdots&y_n^{n-1}\end{vmatrix}\] 称为函数组 \(y_1,y_2,\cdots,y_n\) 的朗斯基行列式。行列式的计算方法可参考任何一本线性代数的教材。

例1:求解微分方程 \(x^2y^{\prime\prime}-2xy’+2y=x^3\sin x\),已知 \(y_1=x,y_2=x^2\) 为对应齐次微分方程的解。

解:\(y_1,y_2\) 的朗斯基行列式为 \[W=\begin{vmatrix}y_1&y_2\\ y’_1&y’_2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}x&x^2\\ 1&2x\end{vmatrix}=x^2\]

由前面我们推导出来的公式,

\begin{align*}C_1(x)&=D_1-\int \frac{y_2f(x)}{y_1y_2′-y_1’y_2}dx\\ &=D_1-\int\frac{x^2\cdot x\sin x}{x^2}dx\\ &=D_1-\int x\sin xdx\\ &= D_1+x\cos x-\sin x\end{align*}

\begin{align*}C_2(x)&=D_2+\int \frac{y_1f(x)}{y_1y_2′-y_1’y_2}dx\\ &=D_2-\int\frac{x\cdot x\sin x}{x^2}dx\\ &=D_2+\int\sin xdx\\ &= D_2+\cos x\end{align*}

所以方程的通解为

\[y=C_1(x)y_1+C_2(x)y_2=x\cdot (D_1+x\cos x-\sin x)+x^2(D_2+\cos x)\]