线性微分方程解的结构

这一节我们讲述线性微分方程解的理论。

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1,线性微分方程:\(y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y’+a_0(x)y=f(x)\)。

\(n\) 称为方程的阶,\(f(x)\) 称为非齐次项,若 \(f(x)=0\) ,我们称之为(\(n\)阶)齐次线性微分方程,若 \(f(x)\ne 0\) ,我们称之为(\(n\)阶)非齐次线性微分方程。

2,二阶线性齐次微分方程:\(y^{\prime\prime}+p(x)y’+q(x)y=0\),它的主要结论有下列定理:

定理1:若 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 都是方程 \(y^{\prime\prime}+p(x)y’+q(x)y=0\) 解,则 \(C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\) 也是这个方程的解。

证明:设 \(y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\),则

\[y’=C_1y_1’+C_2y_2′, \quad y^{\prime\prime}=C_1y_1^{\prime\prime}+C_2y_2^{\prime\prime}\]

所以 \begin{align*}y^{\prime\prime}+p(x)y’+q(x)y&= C_1y_1^{\prime\prime}+C_2y_2^{\prime\prime}+p(x)(C_1y_1’+C_2y_2′)+q(x)(C_1y_1(x)+C_2y_2(x))\\ &=C_1(y_1^{\prime\prime}+p(x)y_1’+q(x)y_1)+C_2(y_2^{\prime\prime}+p(x)y_2’+q(x)y_2)\\ &=0\end{align*}

所以 \(C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\) 也是方程的解。

3,线性相关和线性无关。

定义(线性相关与线性无关):一组函数 \(y_1,y_2,\cdots,y_n\),若只有当 \(k_1=k_2=\cdots=k_n=0\) 成立时等式 \[k_1y_1+k_2y_2+\cdots+k_ny_n=0\]才成立,我们称这组函数是线性无关的;反之,若至少有一个 \(k_i\ne 0\) 可使上式成立,则我们称这组函数是线性相关的。

对于两个函数 \(y_1,y_2\),若 \(\frac{y_1}{y_2}=\) 常数时是线性相关的,若不是常数就是线性无关的。

4,线性齐次微分方程的通解:

定理2:\(n\) 阶线性齐次方程 \(y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y’+a_0(x)y=0\) 一定存在 \(n\) 个线性无关的解。

定理3:若 \(y_1,y_2\) 是齐次线性微分方程 \(y^{\prime\prime}+p(x)y’+q(x)y=0\) 两个线性无关的解,则它的通解是 \(y=C_1y_1+C_2y_2\)。

定理4;若 \(y_1,y_2,\cdots,y_n\) 是微分方程 \(y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y’+a_0(x)y=0\) 的一组线性无关的解,则方程的通解为

\[y=C_1y_1+C_2y_2+\cdots+C_ny_n\]

这几个定理理解起来不难,但要证明它,却需要一些额外的知识,这里我们略去。

5,非齐次线性微分方程的通解:

定理5:若 \(y_p\) 是微分方程 \(y^{\prime\prime}+p(x)y’+q(x)y=f(x)\) 一个特解,而 \(y_h\) 是对应的齐次微分方程的通解,则 \(y=y_h+y_p\) 就是微分方程 \(y^{\prime\prime}+p(x)y’+q(x)y=f(x)\) 的通解。

证明:直接代入微分方程即可。

这个定理也有对应的 \(n\) 阶方程的结论。

定理6:若 \(y_p\) 是微分方程 \(y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y’+a_0(x)y=f(x)\)一个特解,而 \(y_h\) 是对应的齐次微分方程的通解,则 \(y=y_h+y_p\) 就是微分方程 \\(y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y’+a_0(x)y=f(x)\) 的通解。

定理7:若 \(y_1^*\) 都是微分方程 \[y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y’+a_0(x)y=f(x)\] 的通解,而 \(,y_2^*\) 是 微分方程 \[y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y’+a_0(x)y=g(x)\]的通解,则 \(y_1^*+y_2^*\) 是方程 \[y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y’+a_0(x)y=f(x)+g(x)\] 的通解。

这个定理告诉我们,如果非齐次项是两个函数之和,则我们可以将微分方程分成两部分,再分别求解,最后将两个方程的解加起来就是原方程的通解。