微分方程的基本概念

这一节是微分方程的一些基本概念。

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1,微分方程:含有未知函数的导数的方程

\(\displaystyle\quad y’=3x^2+1\),\(\displaystyle y’+4y’+4y=0\),\(\left(y’\right)^2+y\cdot y’+\sin x=0\)

2,微分方程的解:函数\(\ y=f(x)\ \)满足微分方程,称\(\ y=f(x)\ \)是微分方程的一个解

\(\displaystyle x^2+y^2=C\ \) 是微分方程\(\displaystyle\ y’=-\frac{x}{y}\ \) 的解

\(\displaystyle\quad\Rightarrow\quad 2x+2y\frac{dy}{dx}=0\quad\Rightarrow\quad\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\)

3,阶:方程中出现的最高阶导数的阶

\(\displaystyle\quad y^{\prime\prime}+4y’+4y=0\quad\ \)二阶

\(\displaystyle\quad y’+\sin x\cdot y=\cos x\quad\ \)一阶

\(\displaystyle\quad (y’)^2+ y\cdot y’=\sin x\quad\ \)一阶

4,线性方程:未知函数及其所有阶导数的系数只跟\(\ x\ \)有关

\(\ \ \)非线性方程:未知函数或其某一阶导数的系数与\(\ y\ \)或\(\ y\ \)的导数有关

\(\displaystyle\quad y^{\prime\prime}+4y’+4y=0\quad\ \)线性

\(\displaystyle\quad y’+\sin x\cdot y=\cos x\quad\ \)线性

\(\displaystyle\quad (y’)^2+ y\cdot y’=\sin x\quad\ \)非线性

\(\displaystyle\quad y’+e^y=\tan x\quad\ \)非线性

\(\displaystyle\quad y’+\sin y=\cos x\quad\ \)非线性

5,通解:含有任意常数的解,且任意常数的个数与方程的阶数一致,

\(\qquad\qquad\)任意常数之间是相互独立的。

\(\ \ \)特解:任意常数确定了的解,叫做方程的特解。

6,初值问题:给定\(\ y(x_0)\ \),\(\ y'(x_0)\ \),\(\cdots\),\(y^{(n-1)} (x_0)\)条件(即 初值条件)下的微分方程。

初值问题的解是一种特解

\(\begin{cases} y’=2x, & 0<x<1\\y(0)=1, & x=0\end{cases}\)