常系数非齐次线性微分方程(二)

这一节我们考虑非齐次微分方程 \(y^{\prime\prime}+py’+qy=f(x)\),\(f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)\cos(wx)+P_n(x)\sin(wx)\) 的情形。

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我们将这一种情形化成上一节所讲述的情形来处理。由欧拉公式,我们知道三角函数可以用复指数函数表示

\[\begin{cases}e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\\ e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta\end{cases}\quad\Rightarrow\quad \begin{cases}\cos\theta=\frac{1}{2}(e^{i\theta}+e^{i\theta})\\ \sin\theta=\frac{1}{2i}(e^{i\theta}-e^{-i\theta})\end{cases}\]

所以

\begin{align*}e^{\lambda x}P_m(x)\cos(wx)&=e^{\lambda x}P_m(x)(e^{iwx}+e^{-iwx})\\ &=\frac{1}{2}\left(P_m(x)e^{(\lambda+iw) x}+P_m(x)e^{(\lambda-iw) x}\right)\end{align*}

\begin{align*}e^{\lambda x}P_n(x)\sin(wx)&=e^{\lambda x}P_n(x)(e^{iwx}+e^{-iwx})\\ &=\frac{1}{2i}\left(P_n(x)e^{(\lambda+iw) x}+P_n(x)e^{(\lambda-iw) x}\right)\\ &=\frac{-i}{2}\left(P_n(x)e^{(\lambda+iw) x}-P_n(x)e^{(\lambda-iw) x}\right)\end{align*}

所以 \begin{align*}e^{\lambda x}P_m(x)\cos(wx)&+P_n(x)\sin(wx)\\ &=\frac{P_m(x)-iP_n(x)}{2}e^{(\lambda+iw) x}\\ &\quad+\frac{P_m(x)+iP_n(x)}{2}e^{(\lambda-iw) x}\end{align*}

记 \[f_1(x)=\frac{P_m(x)-iP_n(x)}{2}e^{(\lambda+iw) x}, f_2(x)=\frac{P_m(x)+iP_n(x)}{2}e^{(\lambda-iw) x}\]

由我们之前讲述的,两个方程

\[y^{\prime\prime}+py’+qy=f_1(x), y^{\prime\prime}+py’+qy=f_2(x)\]

的解之和为原方程的解。又因为 \(f_2(x)=\overline{f_1(x)}\),所以若 \(y_1\) 是第一个方程的解,则 \(\overline{y_1}\) (共轭函数)就是第二个方程的解。

由前一节的结果,方程 \(y^{\prime\prime}+py’+qy=f_1(x)\) 的解为 \(u(x)e^{(\lambda+iw)x}\)

  • 若 \(\lambda+iw\) 不是特征方程的根,则 \[u(x)=a_kx^m+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_1x+a_0\]
  • 若 \(\lambda+iw\) 是特征方程的根,则 \[u(x)=a_kx^m+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_1x+a_0\]

这里 \(k=\max(m,n)\) 是 \(m,n\) 中最大的那一个数字。

3,结论:原方程的特解为

\begin{align*}y_p&=u(x)e^{(\lambda+iw)x}+\overline{u(x)}e^{(\lambda-iw)x}\\ &=e^{\lambda x}x^t(P(x)\cos(wx)+Q(x)\sin(wx))\end{align*}

这里 \(t=0\),若 \(\lambda+iw\) 不是特征方程的根;\(t=1\),若 \(\lambda+iw\) 是特征方程的根。\P(x)=a_kx^m+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_1x+a_0,\quad Q(x)=b_kx^m+b_{k-1}x^{k-1}+\cdots+b_1x+b_0\]

例1: 求微分方程 \(y^{\prime\prime}y=x\cos2x\) 的一个特解。

解:这里 \(\lambda=0, w=2\)。特征方程为 \(r^2+1=0\),特征根为 \(\pm i\)。所以 \(\lambda +iw=2i\) 不是特征方程的根。可设

\[y_p=(Ax+B)\cos 2x+(Cx+D)\sin 2x\]

它的一、二阶导数为

\begin{align*}y’_p&=A\cos 2x-2(Ax+B)\sin2x+C\sin 2x+2(Cx+D)\cos2x\\ &=(A+2Cx+2D)\cos2x+(C-2Ax-2B)\sin2x\end{align*}

\begin{align*}y^{\prime\prime}&=2C\cos2x-2A\sin2x-2(A+2Cx+2D)\sin2x+2(C-2Ax-2B)\cos2x\\ &=\cos2x(2C+2C-4Ax-4B)+\sin2x(-2A-2A-4Cx-4D))\\ &=\cos2x(4C-4Ax-4B)+\sin2x(-4A-4Cx-4D)\end{align*}

代入到微分方程里去,

\begin{align*}y^{\prime\prime}+y&=\cos2x(4C-4Ax-4B)+\sin2x(-4A-4Cx-4D)\\ &\quad+(Ax+B)\cos 2x+(Cx+D)\sin 2x\\ &=\cos2x(4C-3Ax-3B)+\sin2x(-4A-3Cx-3D)\\ &=x\cos2x\end{align*}

由此我们得到

\[\begin{cases}4C-3Ax-3B=x\\ -4A-3Cx-3D=0\end{cases}\]

解这个方程组,我们得到

\[A=-\frac{1}{3}, B=0,C=0,D=\frac{4}{9}\]

所以我们得到方程的特解为

\[y_p=-\frac{1}{3}x\cos2x+\frac{4}{9}\sin2x\]

例2:求微分方程 \(y^{\prime\prime}+y=\cos x\) 的通解。

解:这里 \(\lambda=0,w=1\),由上例,特征方程的根为 \(\pm i\),对应齐次方程的通解为 \(y_h=C_1\cos x+C_2\sin x\)所以 \(\lambda+i=i\) 是特征方程的根。从面我们设特解为

\[y_p=Ax\cos x+Bx\sin x\]

它的一、二阶导数为

\begin{align*}y_p’&=A\cos x-Ax\sin x+B\sin x+Bx\cos x\\ &=\cos x(A+Bx)+\sin x(-Ax+B)\end{align*}

\begin{align*}y_p^{\prime\prime}&=B\cos x-\sin x(A+Bx)-A\sin x+\cos x(-Ax+B)\\ &=\cos x(B-Ax+B)+\sin x(-A-A-Bx)\\ &=\cos x(-Ax+2B)+\sin x(-2A-Bx)\end{align*}

代入到微分方程里去

\begin{align*}y^{\prime\prime}+y&=\cos x(-Ax+2B)+\sin x(-2A-Bx)+Ax\cos x+Bx\sin x\\ &=2B\cos x-2A\sin x=\cos x\end{align*}

由此可得到 \(A=0,B=\frac{1}{2}\)。所以特解为 \[y_p=\frac{1}{2}x\sin x\]

方程的通解为

\[y=y_h+y_p=C_1\cos x+C_2\sin x+\frac{1}{2}x\sin x\]