常系数非齐次线性微分方程(一)

非齐次方程的解,可以通过常数变易法来求,也可以通过待定系数法来求解。这一节我们采用待定系数法来求解常系数非齐次线性微分方程 \(y^{\prime\prime}+py’+qy=f(x)\)。

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待定系数法求非齐次线性微分方程,根据非齐次项的形式采用不同的解的表达式。也就是说,待定系数法,取决于微分方程的形式。

这一节我们主要考虑非齐次项为 \(f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}\) 形式的方程,这里 \(P_m(x)\) 是 \(n\) 阶多项式。

1,特解的形式:我们知道非齐次微分方程的解是齐次方程的通解加上一个特解。所以对于非齐次方程,我们只需要求出特解就行了,因为齐次方程的解我们可以用上一节的方法求出。

因为\(f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}\),所以方程左边也应该是 \(e^{\lambda x}\) 有关。我们设方程的特解为 \(y_p=u(x)e^{\lambda x}\),

\[y’=u'(x)e^{\lambda x}+\lambda u(x)e^{\lambda x}=e^{\lambda x}\left(u'(x)+u(x)\right)\]

\[ y^{\prime\prime}=u^{\prime\prime}e^{\lambda x}+2\lambda u'(x)e^{\lambda x}+\lambda^2u(x)e^{\lambda x}=e^{\lambda x}(u^{\prime\prime}+2\lambda u'(x)+\lambda^2 u(x))\]

代入到微分方程里去,

\begin{align*}y_p^{\prime\prime}+py_p’+qy_p&=e^{\lambda x}(u^{\prime\prime}+2\lambda u'(x)+\lambda^2 u(x))+pe^{\lambda x}\left(u'(x)+u(x)\right)+qu(x)e^{\lambda x} \\ &=e^{\lambda x}\left[u^{\prime\prime}+u'(2\lambda+p)+u(\lambda^2+\lambda p+q)\right]\\ &=P_m(x)e^{\lambda x}\end{align*}

从而 \(u(x)\) 满足微分方程\[u^{\prime\prime}+u'(2\lambda+p)+u(\lambda^2+\lambda p+q)=P_m(x)\]

我们分几种情况:

(1)若\(\lambda^2+\lambda p+q\ne 0\),则 \(\lambda \) 不是特征方程的根,\(\Longrightarrow\) \(u\) 的阶与 \(P_m(x)\) 的阶一样,可以设

\[u(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0\]

这些系数待定;

(2)若 \(\lambda^2+\lambda p+q=0\) 但是 \(2\lambda+p\ne 0\),\(\Longrightarrow\) \(u\) 的阶比 \(P_m(x)\) 高一阶,可以设

\[u(x)=x(a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0)\]

(3)若 \(\lambda^2+\lambda p+q=0, 2\lambda+p=0\),\(\Longrightarrow\) \(u\) 的阶比 \(P_m(x)\) 高二阶,可以设

\[u(x)=x^2(a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0)\]

2,结论:

  • 若 \(\lambda\) 不是特征方程的根,\[u(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0\]
  • 若 \(\lambda\) 是特征方程的单根,\[u(x)=x(a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0)\]
  • 若 \(\lambda\) 是特征方程的重根,\[u(x)=x^2(a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0)\]

所有的系数可以通过微分方程 \[u^{\prime\prime}+u'(2\lambda+p)+u(\lambda^2+\lambda p+q)=P_m(x)\]来确定。

例1:求微分方程 \(y^{\prime\prime}-y’-2y=x+1\) 的一个特解。

解:这里 \(\lambda=0\),特征方程为 \(r^2-r-2=0\),特征根为 \(r_1=-1. r_2=2\), 所以 \(\lambda=0\) 不是特征方程的根。我们设 \(u(x)=Ax+b, y_p=Ax+b\),则 \(u’=A,u^{\prime\prime}=0\),代入到微分方程

\[-A-2(Ax+B)=x+1,\quad -2Ax-(A+2B)=x+1\]

解得 \(\displaystyle A=-\frac{1}{2}, B=-\frac{1}{4}\)。所以方程的特解为 \(y_p=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\)。

例2:求微分方程 \(y^{\prime\prime}-5y’+6y=xe^{2x}\) 的通解。

解:\(\lambda=2\),特征方程为 \(r^2-5r+6=0\),特征根为 \(r_1=2,r_2=3\),所以 \(\lambda=2\) 是特征方程的单根。对应齐次微分方程的通解为

\[y_h=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}\]

方程的特解可设为 \[y_p=e^{2x}x(Ax+B)\]

\(u(x)=x(Ax+B)=Ax^2+Bx, u’=2Ax+B, u^{\prime\prime}=2A\),代入到微分方程

\[u^{\prime\prime}+u'(2\lambda+p)+u(\lambda^2+\lambda p+q)=P_m(x)\]

并且注意到 \(\lambda^2+\lambda p+q=0\),我们有

\[2A+(4-5)(2Ax+B)=x\quad\Rightarrow\quad 2A-2Ax-B=x\]

解得 \(A=-\frac{1}{2}, B=-1\),所以特解为

\[y_p=-(\frac{1}{2}x+1)e^{2x}\]

所以方程的通解为 \[y=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}-(\frac{1}{2}x+1)e^{2x}\]