可降阶的高阶微分方程

有些高阶方程,可以通过适当的方法降阶,从而简化求解的过程。

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1,\(y^{n}=f(x)\),这种形式的微分方程,只需要求积分就行。

例1:解方程 \(y^{\prime\prime\prime}=\sin x\)。

解:依次求积分 \[y^{\prime\prime}=-\cos x+C_1,\quad y’=-\sin x+C_1x+C_2,\quad y=\cos x+C_1x^2+C_2x+C_3\]

2,方程 \(y^{\prime\prime}=f(x,y’)\)。这种方程不显含 \(y\),只需要令 \(p=y’\),则方程化为 \(p’=f(x,p)\),然后利用一阶方程的方法求解。

例2:解微分方程 \((1+x^2)y^{\prime\prime}2xy’\)。

解:令 \(p=y’\),则方程化为

\[(1+x^2)p’=2xp\]分离变量

\[\frac{dp}{p}=\frac{2x}{1+x^2}\]

两边积分,我们得到 \[\ln|p|=\ln(1+x^2)+C=\ln(C_1(1+x^2)),\quad\Rightarrow\quad p=C_1(1+x^2)\]

所以 \(y’=C_1+C_1x^2\),再来积分一次,

\[y=C_2+C_1x+\frac{C_1x^3}{3}\]

3,方程 \(y^{\prime\prime}=f(y,y’)\),方程不显含 \(x\)。我们做变换 \(p=y’\),将 \(y\) 看成自变量,

\[y^{\prime\prime}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}\]

所以方程变成

\[p\frac{dp}{dy}=f(y,p)\]再利用一阶方程的方法求解。

例3:解方程 \(yy^{\prime\prime}-(y’)^2=0\)

解:令 \(p=y’\),则 \(\displaystyle y^{\prime\prime}=p\frac{dp}{dy}\),

\begin{align*}yp\frac{dp}{dy}-p^2=0&\Rightarrow\quad yp\frac{dp}{dy}=p^2\\ &\Rightarrow\quad\frac{dp}{p}=\frac{dy}{y}\\ &\Rightarrow\quad \ln|p|=\ln|y|+C_1\\ &\Rightarrow\quad p=C_1y\\ &\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=C_1y\\ &\Rightarrow\quad\frac{dy}{y}=C_1\\ &\Rightarrow\quad \ln|y|=C_1x+C_2\\ &\Rightarrow\quad y=C_2e^{C_1x}\end{align*}