可分离变量的微分方程

最简单的一类微分方程是可分离变量的微分方程。这种方程,通过适当变形,就变成两个微分两项各自只依赖于一个变量的微分式,然后只需要各自积分,就可解出微分方程了。

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1,可分离变量的微分方程:若方程具有形式

\[\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\]则称之为可分离变量的微分方程。简单变形,即为

\[\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx\]左边只依赖于 \(y\),右边只依赖于 \(x\),两边积分就得到

\[\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx\]

注意:在微分方程里,\(x\) 与 \(y\) 的地位是对等的。

例1:求微分方程 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=2xy\) 的通解。

解:方程可变形为

\[\frac{dy}{y}=2xdx\]

两边积分,

\[\int\frac{dy}{y}=\int2xdx,\quad \ln|y|=x^2+C\]

\[|y|=e^{x^2+C}=e^Ce^{x^2}\]

用 \(C\)代替 \(e^C\) 并允许 \(C<0\),则

\[y=Ce^{x^2}\]这就是方程的通解。

例2:求微分方程 \(xy’-y\ln y=0\) 的通解。

解:将方程变形

\[xy’-y\ln y=0\quad\Rightarrow\quad x\frac{dy}{dx}=y\ln y\quad\Rightarrow \quad \frac{dy}{y\ln y}=\frac{dx}{x}\]

两边积分

\begin{align*}\int\frac{dy}{y\ln y}=\int\frac{dx}{x}&\Rightarrow\quad \ln|\ln y|=\ln|x|+C\\ &\Rightarrow\quad |\ln y|=C|x|\\ &\Rightarrow\quad y=e^{Cx} \end{align*}

例3:求初值问题 \begin{cases}\cos x\sin ydy=cos y\sin xdx\\ y(0)=\frac{\pi}{4}\end{cases}

解: 我们先求通解。将方程变形为

\begin{align*}\cos x\sin ydy=cos y\sin xdx&\Rightarrow\quad \frac{\sin y}{\cos y}dy=\frac{\sin x}{\cos x}dx\\ &\Rightarrow\quad \int\frac{\sin y}{\cos y}dy=\int\frac{\sin x}{\cos x}dx\\ &\Rightarrow\quad-\ln|\cos y|=-\ln|\cos x|+C\\ &\Rightarrow\quad \ln|\cos y|=\ln|\cos x|+C\\ \Rightarrow\quad \cos y=C\cos x\end{align*}

代入初值,我们得到 \(\frac{\sqrt2}{2}=C\)。所以初值问题的解为

\[\cos y=\frac{\sqrt2}{2}\cos x\]