伯努利方程

伯努利方程是一阶非线性方程,但是通过适当的变换,可以将它化成一阶线性方程,然后就可以通过解一阶线性方程的方法来求得它的解。

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伯努利方程的形式为 \[y’+p(x)y=q(x)y^n\]

两边除以 \(y^n\),则方程变形为 \[y_{-n}+p(x)y^{1-n}=q(x)\]

做变换 \(z=y^{1-n}\),则 \(\frac{dz}{dx}=(1-n)y_{-n}\frac{dy}{dx}\),将微分方程两边乘以 \(1-n\),就得到

\[\frac{dz}{dx}+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)\]

由一阶线性微分方程的解的表达式,我们有

\[z=e^{-\int (1-n)p(x)dx}\left(\int e^{-\int (1-n)p(x)dx}(1-n)q(x)dx+C\right)\]

两边再开 \(n-1\) 次方,就得到了方程的解。

例1:解方程 \(y’-2xy=2x^3y^2\)。

解:方程可变形为 \[y^{-2}y’-2xy^{-1}=2x^3\]

做变换 \(z=y^{-1}\),则 \(\displaystyle \frac{dz}{dx}=-y^{-2}y’\),所以

\[\frac{dz}{dx}+2xz=-2x^3\]

由一阶线性微分方程的解,

\begin{align*}z&=e^{-\int 2xdx}\left(\int e^{\int 2xdx}(-2x^3)dx+C\right)\\ &=e^{-x^2}\left(\int e^{x^2}(-2x^3)dx+C\right)\end{align*}

在积分里令 \(u=x^2\),则

\[\int e^{x^2}(-2x^3)dx=-\int ue^udu=-(ue^u-e^u)+C=e^{x^2}-x^2e^{x^2}+C\]

所以

\begin{align*}z=e^{-x^2}\left(\int e^{x^2}(-2x^3)dx+C\right)\\ &=e^{-x^2}\left(e^{x^2}-x^2e^{x^2}+C\right)\\ &=1-x^2+Ce^{x^2}\end{align*}

所以 \(z=1-x^2+Ce^{x^2}\),从而方程的通解为

\[y=z^{-1}=\frac{1}{1-x^2+Ce^{x^2}}\]

例2:解方程 \(\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=a\ln x y^2\)。

解:方程变形为

\[y^{-2}\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y^{-1}=a\ln x\]

令 \(z=y^{-1}\),则

\[\frac{dz}{dx}-\frac{1}{x}z=-a\ln x\]

所以

\begin{align*}z&=e^{\int\frac{1}{x}dx}\left(\int e^{-\int\frac{1}{x}dx}(-a\ln x)dx+C\right)\\ &=x\left(-a\int \frac{1}{x}\ln xdx+C\right)\\ &=x\left(-\frac{a}{2}\ln^2x+C\right)\\ &=-\frac{a}{2}x\ln^2x+Cx\end{align*}

所以 \[y=\frac{1}{-\frac{a}{2}x\ln^2x+Cx}\]