一阶线性微分方程

笔记下载:一阶线性微分方程

1,一阶线性微分方程具有形式: \(y’+p(x)y=q(x)\)。它的解的表达式可以通过积分因子法或者常数变易法求得。

2,积分因子法:将方程两边乘以一个函数 \(r(x)\),使得方程左边为一个函数的导数,这个 \(r(x)\) 就称为方程的积分因子。

我们这里给出积分因子法的思想,将方程两边乘以一个函数 \(r(x)\),

\begin{align*}r(x)y’+r(x)p(x)y=r(x)q(x)\end{align*}

方程的第一项为 \(r(x)y’\),由积的求导公式 \((uv)’=u’v+uv’\),方程右边应该是 \((r(x)y)’\),也就是

\begin{align*}r(x)y’+r(x)p(x)y=r(x)q(x)&\Rightarrow\quad (r(x)y)’=r(x)q(x)\\ &\Rightarrow\quad r(x)y’+r'(x)y=r(x)q(x)\end{align*}

所以我们有 \(r'(x)=r(x)p(x)\),解这个方程,我们有 \(r(x)=e^{\int p(x)dx}\)。

所以我们有

\begin{align*}\left(e^{\int p(x)dx}y\right)’=e^{\int p(x)dx}q(x)\end{align*}

两边积分,我们有

\[e^{\int p(x)dx}y=\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx+C\]

两边乘以 \(\displaystyle e^{-\int p(x)dx}\),就有

\[y=e^{-\int p(x)dx}\left(\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx+C\right)\]

3,常数变易法:常数变易法的基本思想是,先求出对应齐次方程的解,然后将齐次方程的解中的常数换成函数,再代入非齐次方程里,求出未知常数,就得到了非齐次方程的解的方法。这个方法是可以应用于一般的线性非齐次方程里,而不仅是在一阶线性方程里。

一阶线性方程所对应的齐交方程为 \(y’+p(x)y=0\),这是一个可分离变量的方程,它的通解为 \(y=Ce^{-\int p(x)dx}\)。将常数换成函数,也就是,设一阶线性方程的解为 \[y=C(x)e^{-\int p(x)dx}\]

代入到一阶线性方程里去,我们得到

\[y’=C'(x)e^{-\int p(x)dx}+C(x)e^{-\int p(x)dx}(-p(x))\]

\begin{align*}y’+p(x)y=q(x)&\Rightarrow\quad C'(x)e^{-\int p(x)dx}=q(x)\\ &\Rightarrow\quad C'(x)=e^{\int p(x)dx}q(x)\\ &\Rightarrow\quad C(x)=\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx+C\end{align*}

所以方程的通解为

\[y=C(x)e^{-\int p(x)dx}=e^{-\int p(x)dx}\left(\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx+C\right)\]

这两种方法都给出了同一个公式。

现在来看例题。

例1:解方程 \(\displaystyle y’-\frac{2y}{x+1}=(x+1)^{\frac{5}{2}}\)。

解:\(displaystyle p(x)=-\frac{2}{x+1}, q(x)=(x+1)^{\frac{5}{2}}\),代入到解的表达式里去

\begin{align*}y&=e^{-\int p(x)dx}\left(\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx+C\right)\\ &=e^{\frac{2}{x+1}}\left(\int e^{\int -\frac{2}{x+1}dx}(x+1)^{\frac{5}{2}}dx+C\right)\\ &=(x+1)\left(\int(x+1)^{-1}(x+1)^{\frac{5}{2}}dx+C\right)\\ &=(x+1)\left(\int(x+1)^{\frac{3}{2}}dx+C\right)\\ &=(x+1)\left(\frac{2}{5}(x+1)^{\frac{5}{2}}+C\right)\end{align*}

也就是说方程的通解为 \[y=(x+1)\left(\frac{2}{5}(x+1)^{\frac{5}{2}}+C\right)\]

例2:解方程 \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x+1}\)。

解:初步一看,这个方程似乎不是一阶线性方程。但是如果我们将方程倒过来,

\[\frac{dx}{dy}=x+y\quad \Rightarrow\quad \frac{dx}{dy}-x=y\]

那么这就是一个一阶线性方程了,只是这里的因变量为 \(x\),自变量为 \(y\),\(p(y)=-1, q(y)=y\)。根据一阶线性方程的解的表达式

\begin{align*}x=e^{-\int p(y)dy}\left(\int e^{\int p(y)dy}q(y)dy+C\right)\\ &=e^y\left(\int e^{-y}ydy+C\right)\\ &=e^y(-ye^{-y}-e^{-y}+C)\\ &=Ce^y-y-1\end{align*}

所以方程的通解为 \[x=Ce^y-y-1\]