费马引理

费马引理的结论是:如果一个可微函数在某一点取到极值,那么函数在这一点处的导数为 \(0\)。这一定理给出了求极限的必要条件,同时也是证明中值定理的关键定理。

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我们以前讲到闭区间上的连续函数必定取到它的最大值与最小值。那么问题是,我们如何找到它的最大值与最小值?费马定理给出了一个必要条件。

1,极值(局部极值):若在 \(x_0\) 的某个领域内, \(f(x)\le f(x_0)\),我们称 \(x_0\) 为极大值点,\(f(x_0)\) 为极大值。反之\(f(x)\ge f(x_0)\),我们称 \(x_0\) 为极小值点,\(f(x_0)\) 为极小值。

1,定理(费马引理):若 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可微且 \(f(x_0)\) 是 \(f(x)\) 的极值,则 \(f'(x_0)=0\)。

证明:在 \(x_0\) 的领域内, \(f(x)\le f(x_0)\),若 \(f(x_0)\) 是极大值则

\begin{align*}\Longrightarrow & x<x_0, f(x)\le f(x_0) \quad \Rightarrow \quad f(x)-f(x_0)\le 0, x<x_0\\ & x>x_0, f(x)\ge f(x_0) \quad \Rightarrow \quad f(x)-f(x_0)\le 0, x>x_0\\ \Longrightarrow & f'(x_0^-)=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0\\ &f'(x_0^+)=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0\end{align*}

由导数存在的充分必要条件,左右导数存在且相等,只能有\(f'(x_0)=0\)

3,注记:费马引理只是函数取极值的必要条件(它要求 \(f(x)\)可微。)。其实 \(f'(x_0)=0\) 只是 \(f(x_0)\) 为极值的一种可能性。它不一定能保证这个点一定是极值。

例1:\(y=x^3, y’=3x^2\), \(y’\) 在 \(x=0\) 处为 \(0\),但是 \(0\) 并不是 \(y=x^3\) 的极值。

例2: \(y=|x|\) 在 \(x=0\) 处取到极小值,但是它的导数在这一点不存在。

4,极值可能的点:从以上我们的分析可以看出,极值可能的点为: \((1) f'(x)=0\) 的点; (2) f'(x)\) 不存在的点。这两种点叫做函数的临界点。