洛必达法则

洛必达法则是求未定式极限最常用也是最有效的方法之一。它的基本结论是,基本未定式极限 \(\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty}\) 可以通过对分子分母分别求导后的极限得到。也就是说

\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]

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1,洛必达法则(\(\frac{0}{0}\)型):设函数 \(f(x),g(x)\)满足

  • \(\lim_{x\to a }f(x)=0, \lim_{x\to a }f(x)=0\);
  • \(f(x),g(x)\) 在 \(x=a\) 的领域内可导 。(\(a\)可除外)
  • \(\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)存在

则 \[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]

注:在实际计算中,我们一般不验证第三个条件,而是先求导,在求导的过程中逐步验证它是不是有极限。

这一节我们先不证明这个结论,证明作为专门的内容单独讲解。

2,洛必达法则 (\(\frac{\infty}{\infty}\)型)若我们将上面定理的第一条改成\[\lim_{x\to a}f(x)=\infty, \lim_{x\to a}g(x)=\infty\]第二、三条同上,结论仍然成立。即 \[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]

3,\(\frac{0}{0}\) 型和 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型称作基本未定式极限。

例1:求极限 \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1}\)。

解:这是 \(\frac{0}{0}\)型极限,我们对分子分母分别求导,

\[\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{1/x}{1}=1\]

例2:求极限 \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}\)。

解:这也是 \(\frac{0}{0}\)型极限,应用洛必达法则,对分子分母分别求导,

\[\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{3x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{6x}=\frac{1}{6}\]最后一个等式我们应用了两个重要极限 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\)

例3:求极限 \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2}\)。

解:这是 \(\frac{\infty}{\infty}\)型的极限。应用洛必达法则第二个形式,对分子分母分别求导,我们有\[\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{2x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{2}=+\infty\]

例4:求极限 \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt[3]{x}}\)。

解:这也是 \(\frac{\infty}{\infty}\)型的极限。应用洛必达法则第二个形式,对分子分母分别求导,\[\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt[3]{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3}x^{-2/3}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^{2/3}}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{3}{x^{1/3}}=0\]