泰勒公式的证明

泰勒公式通常比较难以理解。这里我们详细讲解了如何得到函数的泰勒公式,就是泰勒公式的证明。

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1,线性近似与多项式近似:我们在讲微分与线性近似的时候,我们有 \[f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\]它的误差是 \(x-x_0\) 的高阶无穷小。那么我们的问题是,能不能用多项式来逼近函数,\[f(x)\approx a_0+a_1(x-x_0)+\cdots +a_n(x-x_0)^n\]误差为 \((x-x_0)^n\)的高阶无穷小?也就是说 \(f(x)= a_0+a_1(x-x_0)+\cdots +a_n(x-x_0)^n+o(x-x_0)^n\)

如果可以的话,那么这些系数是多少?

2,泰勒多项式:如果我们记 \(p_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots +a_n(x-x_0)^n\),它在 \(x_0\) 附近可以近似 \(f(x)\),误差为 \(o(x-x_0)^n\)。我们来看一下这些系数应该是多少。

因为 \(f(x)= a_0+a_1(x-x_0)+\cdots +a_n(x-x_0)^n+o(x-x_0)^n\),所以

\[f(x_0)=p_n(x_0)=a_0, f'(x_0)=p_n'(x_0)=a_1, \] \[f^{\prime\prime}(x_0)=p_n^{\prime\prime}(x_0)=2!a_2,\cdots,f^{(n)}(x_0)=p^{(n)}(x_0)=n!a_n\]所以 \[a_0=f(x_0), a_1=f'(x_0), a_2=\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}, \cdots, a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\]

我们将多项式 \[p_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\]称为函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的 (\(n\) 阶)泰勒多项式。

3,定理(泰勒公式):设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处 \(n\) 阶可导,则

\begin{align*}f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o(x-x_0)^n\end{align*}

证明:我们记 \[p_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\] 余项记为 \(R_n(x)=f(x)-p_n(x)\)。我们证明它是 \((x-x_0)^n\) 的高阶无穷小。

从我们前面的推导,我们知道 \[R_n(x_0)=0, R_n'(x_0)=0,\cdots, R_n^{(n)}(x_0)=0\]因为函数在 \(x_0\) 处有 \(n\) 阶导数,所以它在 \(x_0\) 的领域内有 \(n-1\) 阶导数。应用洛必达法则

\begin{align*}\lim_{x\to x_0}\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n}&=\lim_{x\to x_0}\frac{R'(x)}{n(x-x_0)^{n-1}}=\lim_{x\to x_0}\frac{R_n^{\prime\prime}(x)}{n(n-1)(x-x_0)^{n-2}}\\ &=\cdots=\lim_{x\to x_0}\frac{R_n^{(n-1)}(x)}{n!(x-x_0)}=\lim_{x\to x_0}\frac{R_n^{(n-1)}(x)-R_n^{(n-1)}(x_0)}{n!(x-x_0)}\\&=\frac{1}{n!}R_n^{n}(x_0)=0\end{align*}

最后一行,我们应用了导数的定义,以及 \(R_n^{(n-1)}(x_0)=0\) 这个事实(在分母加一个 \(0\))。所以我们就证明了泰勒公式。

4,佩亚诺余项:我们称余项 \(R_n(x)=o(x-x_0)^n\) 为泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项,\[f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o(x-x_0)^n\]称为带佩亚诺余项的泰勒公式。

5,麦克劳林公式:若 \(x_0=0\),\[f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)\] 称为函数的麦克劳林公式。

6,定理(拉格朗日余项的泰勒公式)。设函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处 \(n+1\) 阶可导,则\[f(x=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\]其中 \(\xi\) 为介于 \(x\) 与 \(x_0\) 之间的某一个数。

证明:我们记 \(R_n(x)=f(x)-p_n(x)\),我们只需要证明 \(R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\)。

如同前面的定理一样,我们知道\[R_n(x_0)=0, R_n'(x_0)=0,\cdots, R_n^{(n)}(x_0)=0\]所以我们应用柯西中值定理 \[\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}-0}=\frac{R_n(x)-R_n(x_0)}{(x-x_0)^{n+1}}=\frac{R’_n(\xi_1)}{(n+1)(\xi_1-x_0)^n}\]其中 \(\xi_1\) 为介于 \(x\) 与 \(x_0\) 之间的一个数。反复应用柯西中值定理,我们有

\begin{align*}\frac{R’_n(\xi_1)}{(n+1)(\xi_1-x_0)^n}&=\frac{R’_n(\xi_1)-R’_n(x_0)}{(n+1)(\xi_1-x_0)^n}=\frac{R_n^{\prime\prime}(\xi_2)}{(n+1)n(\xi_1-x_0)^{n-1}}\\&=\cdots=\frac{R_n^{(n)}(\xi_n)}{(n!(\xi_n-x_0)}=\frac{R_n^{(n+1)}(\xi_{n+1})}{(n+1)!}\end{align*}

\(R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\) 称为泰勒公式的拉格朗日余项。