极值存在的第二条件

我们求函数的极值的时候,可以用一阶导数是否变号来判定,也可以用二阶导数在该点的符号来判定。这就是极限存在的第二个条件。如果函数在某点的一阶导数为\(0\),而二阶导数不为\(0\),则函数在该点取到极值。二阶导数为正,则为极小值,二阶导数为负,则为极大值。

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我们将上面的结论叙述成定理。

1,定理(极值存在的第二个充分条件):设函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处二阶可导且 \(f'(x_0)=0\),

  • 若 \(f^{\prime\prime}(x_0)>0\),则 \(x_0\) 为极小值点,极小值为 \(f(x_0)\);
  • 若\(f^{\prime\prime}(x_0)<0\),则 \(x_0\) 为极值大点,极大值为 \(f(x_0)\)。

证明:若 \(f'(x_0)=0\) 且 \(f^{\prime\prime}(x_0)>0\),则函数在此处的切线是水平的(斜率为 |\(0\)),而且函数是凹的,所以函数在此处取到极小值。反之,若 \(f'(x_0)=0\) 且 \(f^{\prime\prime}(x_0)<0\),则函数在此处的切线是水平的并且函数是凸的,所以函数在此处取到极大值。

注:这里的条件只是充分的,并不是必要的。

例1:设函数 \(f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+5\) 的极值。

解:因为 \[f'(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x+1)(x-2)\]令它等于 \(0\),得到三个值 \(x_1=0,x_2=-1,x_3=2\)。现在我们求二阶导数。\[f^{\prime\prime}(x)=36x^2-24x-24\]代入三个值,我们可以得到 \[f^{\prime\prime}(0)=-24<0,\quad f^{\prime\prime}(-1)=36>0,\quad f^{\prime\prime}(2)=72>0\]所以 \(f(-1)=0\) 是极小值; \(f(0)=5\) 是极大值; \(f(2)=-27\) 是极小值。

例2:求 \(f(x)=(x^2-1)^3+1\) 的极值。

解:函数的一、二阶导数为\[f'(x)=3(x^2-1)^2\cdot 2x=6x(x^2-1)^2,\quad f'(x)=0, x=0,\pm 1 \]

\[f^{\prime\prime}(x)=6(x^2-1)^2+6x\cdot2(x^2-1)\cdot2x=6(x^2-1)^2+24x^2(x^2-1)=6(x^2-1)(5x^2-1)\]

\(f^{\prime\prime}(0)=6>0\),所以 \(f(0)=0\) 是极小值; \(f^{\prime\prime}(-1)=0, f^{\prime\prime}(1)=0\),所以这两种情形无法判断。

当然,如果我们用一阶导数来判断,就可以知道这两点不是极值。