最大最小值问题与最优化问题

我们给出了一个闭区间上的连续的最大值与最小值可能存在的地方,并且运用这些理论来求解实际应用中的最优化问题。

笔记下载:最大最小值问题

我们知道,闭区间上的连续函数必定能达到它的最大值和最小值。那么,我们怎么样找到最大值和最小值呢?

1,最大值最小值可能点:从前面的几节我们知道,如果最大值最小值在区间内部达到,那么它们必定是函数的极值。所以最大值最小值可能的地方只有两种可能,一种是函数的极值点,另一种就是函数的端点处。

2,最大值最小值的求解步骤:

  • 首先求出函数所有的极值;
  • 其次把极值与端点处的值比较,最大的为最大值,最小的为最小值。

3,一个结论:如果区间只有一个极值,那么它必然是最值,另一个最值在端点处。

例1:求函数 \(y=2x^3-3x^2\) 在区间 \([-1,4]\) 上的最大值与最小值。

解:(1)函数的一阶导数为 \[f'(x)=6x^2-6x=6x(x-1)\]令 \(f'(x)=0\),我们得到两个点 \(x=0,1\)。

(2)我们用二阶导数来判定两个点是极大还是极小值。

\[f^{\prime\prime}(x)=12x-6\] 代入两个临界点的值, \(f^{\prime\prime}(0)=-6\),所以 \(f(0)=0\) 是极大值; \(f^{\prime\prime}(1)=6\),所以 \(f(1)=-1\) 是极小值。

(3)端点处的值:\(f(-1)=-5, f(4)=80\),所以 \(f(-1)=-5\) 是区间上的最小值;\(f(4)=80\) 是区间上的最大值。

例2:求与点 \((1,4)\) 最近的、位于曲线 \(y^2=2x\) 上的点。

解:设该点的坐标为 \((x,y)\),则由距离的公式,我们有\[d=\sqrt{(x-1)^+(y-4)^2}\]再将关系式 \(y^2=2x\) 代入到距离公式里,我们得到 \[d=\sqrt{(\frac{1}{2}y^2-1)+(y-4)^2}\]

因为距离是正数,它的最大值与 \(d^2\) 在同一点处取到, 所以我们考虑 \[f(y)=d^2=(\frac{1}{2}y^2-1)+(y-4)^2\] 求出它的最小值点,就能得到问题的解。

\[f'(y)=2(\frac{1}{2}y^2-1)\cdot y+2(y-4)=y^3-2y+2y-8=y^3-8\]令它等于 \(0\),我们得到了临界点 \(x=2\)。又因为 \(f^{\prime\prime}(x)=3y^2>0\),所以它是极小值。因为这是唯一的一个极值,所以它是最小值。\(f(2)=5\),所以最短距离为 \(x=\sqrt5\)。

例3:用一张长 \(30cm\),宽 \(16cm \) 的纸壳做一个无盖的纸盒,问长、宽各是多少,盒子的体积最大。

解:我们需要在纸壳的四个角各切去边长为 \(x\) 的正方形,做成纸盒。所以纸盒的长、宽、高分别 为 \(30-2x, 16-2x, x\),它的体积为 \[V=x(30-2x)(16-2x)=4x^3-92x^2+480x, 0\le x\le 8 \]因为宽为 16cm,所以 \(x\) 的最大取值为 \(8\)。

我们对 \(V\) 求导, \[V’=12x^2-184x+480=4(3x^2-46x+120)=4(x-12)(3x-10)\]令 \(V’=0\),得到两个点 \(x=12,\frac{10}{3}\),\(x=12\) 舍去,因为它超出了 \(x\) 的取值范围。所以 \(x=\frac{10}{3}\) 为临界点。

又因为 \(f^{\prime\prime}(x)=24x-184, f^{\prime\prime}(\frac{10}{3})=-104<0\),所以 \(f(\frac{10}{3})\) 是极大值。因为它是唯一的极值,所以它是区间上的最大值。

所以长、宽、高分别为 \(30-\frac{20}{3}=\frac{70}{3}\), \(16-\frac{20}{3}=\frac{28}{3}\), \(\frac{10}{3}\) 时,体积最大。