利用洛必达法则求其它未定式极限

洛必达法则是针对基本未定式极限的。其它的未定式极限,可以通过变形化成基本未定式极限。这个视频我们演示了如何利用洛必达法则求其它未定式极限。

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1,\(0\cdot \infty\) 型的未定式极限,我们将它化成分式的形式,就可以变成 \(\frac{0}{0}\) 型或者 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型的极限,然后利用洛必达法则来求。

2,\(\infty-\infty\) 型的极限,可以通过通分等方法,将它化成基本未定型。

3,\(0^0, 1^{\infty}, \infty^0\) 型的极限,都是幂指函数的情形,我们通过取 \(e\) 底,再取对数的方式,将指数部分先化成第一种类型,然后再利用第一种类型的方法,将指数部分化成基本未定型。

我们来看例子。

例1:求极限 \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x\)。

解:这是 \(0\cdot \infty\) 的类型。我们将 \(x\) 放到分母去,就得到了\[\lim_{x\to0^+}x\ln x=\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}\]这时候已经是 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型的未定式极限了,然后将分子分母分别求导, \[\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0^+}\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim_{x\to0^+}(-x)=0\]

例2:求极限 \(\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^-}(\sec x-\tan x)\)。

解:这是 \(\infty-\infty\) 的情形,我们可以通过通分的方法变成基本未定型。\[\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^-}(\sec x-\tan x)=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^-}(\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x})=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^-}(\frac{1-\sin x}{\cos x})\]这时候就是 \(\frac{0}{0}\) 型的极限。我们对分子分母分别求导,\[\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^-}(\frac{1-\sin x}{\cos x})=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^-}(\frac{-\cos x}{-\sin x})=0\]所以原极限为 \(0\)。

例3:求极限 \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(\frac{2}{x^2-1}-\frac{1}{x-1}\right)\)。

解:我们对原式通分,\[\lim_{x\to 1}\left(\frac{2}{x^2-1}-\frac{1}{x-1}\right)=\lim_{x\to1}\frac{2-(x+1)}{x^2-1}=\lim_{x\to1}\frac{1-x}{x^2-1}=\lim_{x\to1}\frac{-1}{2x}=-\frac{1}{2}\]

例4:求极限 \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^x\)。

解:这是 \(0^0\) 型的未定式极限 ,我们对函数先取 \(e\) 底,再取对数,就变成了\[\lim_{x\to0^+}x^x=\lim_{x\to0^+}e^{x\ln x}=e^{\lim_{x\to0^+}x\ln x}\]从例1 我们知道 \(\lim_{x\to0^+}x\ln x=0\),所以原极限 \[\lim_{x\to0^+}x^x=e^{\lim_{x\to0^+}x\ln x}=e^0=1\]

例5:求极限 \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}(1+\sin4x)^{\cot x}\)。

解: 这是\(1^{\infty}\) 形式的极限。我们也是先 \(e\) 底,再求极限。

\[\lim_{x\to 0^+}(1+\sin4x)^{\cot x}=\lim_{x\to 0^+}e^{\cot x\ln(1+\sin4x)}=e^{\lim_{x\to 0^+}\cot x\ln(1+\sin4x)}\]

因为 \[\lim_{x\to 0^+}\cot x\ln(1+\sin4x)=\lim_{x\to 0^+}\cot x\frac{\ln(1+\sin4x)}{\tan x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{4\cos4x}{1+\sin4x}}{\sec^2x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{4\cos4x}{\sec^2x(1+\sin4x)}=4\]

所以原极限 \[\lim_{x\to 0^+}(1+\sin4x)^{\cot x}=e^4\]

4,注意:洛必达法则有时候并不是最简便的方法,甚至有时候得不到结果。所以我们也要学会应用其它方法求极限。

例如,\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x+\sin x}{x}\) 用洛必达法则计算不出,但简单的一个比较无穷大的阶就可以了。

又例如,\(\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x})\)用洛必达法则计算就太繁复,但是如果采用先有理化,再比较无穷大的阶的方法,就能很快得到结论。