函数的渐近线

通常我们只考虑函数的三种渐近线:水平渐近线,垂直渐近线和斜渐近线。这里我们给出三种渐近线的定义与求法。

笔记下载:函数的渐近线

1,水平渐近线:若 \[\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=c\] 我们称 \(y=c\) 是函数的水平渐近线。

注意,我们求水平渐近线的时候,两个无穷大方向都要求。

2,垂直渐近线:若 \(\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty\) 或者 \(\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty\),我们称 \(x=a\) 是函数的垂直渐近线。

注:垂直渐近线一般在函数没有定义的地方求。

3,斜渐近线:若 \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-ax-b)=0\),我们称 \(y=ax+b\) 是函数的斜渐近线。

斜渐近线的求法:若 \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=a, \lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-ax)=b\),则 \(y=ax+b\) 就是函数的斜渐近线。

注:同一无穷大方向不可能即有水平渐近线又有斜渐近线。所以只要确定有一种渐近线,就不用求另一种渐近线。

例1:求 \(f(x)=\frac{x}{(x-1)^2}\) 的渐近线。

解:因为 \[\lim_{x\to\infty}\frac{x}{(x-1)^2}=0\]所以 \(y=0\) 是函数的水平渐近线(正无穷和负无穷两个方向都是)。

函数没有定义的点为 \(x=1\),我们有 \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x}{(x-1)^2}=+\infty\)所以 \(x=1\) 是函数的垂直渐近线。

例2:求函数 \(f(x)=\frac{2x^3+x^2+x+3}{x^2+2x}\) 渐近线。

解:函数没有定义的点为 \(x=0,-2\),\[\lim_{x\to0^-}\frac{2x^3+x^2+x+3}{x^2+2x}=-\infty,\quad \lim_{x\to0^+}\frac{2x^3+x^2+x+3}{x^2+2x}=+\infty\]

所以 \(x=0\) 是函数的垂直渐近线。

\[\lim_{x\to-2^-}\frac{2x^3+x^2+x+3}{x^2+2x}=+\infty,\quad \lim_{x\to-2^+}\frac{2x^3+x^2+x+3}{x^2+2x}=-\infty\]所以 \(x=-2\) 也是函数的垂直渐近线。

因为函数的分母比分子高一阶,所以不可能有水平渐近线。正、负无穷远处的极限是无穷大。但是\[\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{2x^3+x^2+x+3}{x^3+2x^2}=2,\]

\[ \lim_{x\to\infty}(f(x)-2x)=\lim_{x\to\infty}\frac{2x^3+x^2+x+3}{x^2+2x}-2x=\lim_{x\to\infty}\frac{2x^3+x^2+x+3-(2x^3+4x^2)}{x^2+2x}=\lim_{x\to\infty}\frac{-3x^2+x+3}{x^2+2x}=-3\]所以 \(a=2,b=-3\), \(y=2x-3\) 就是函数的斜渐近线。