函数的增减与极值

我们利用函数的一阶导数就可判定函数的增减区间以及极值。实际上,导数为正,则函数增加;导数为负,则函数减少。如果函数在某一点左右,导数符号相反,则该点为函数的极值点。

笔记下载:函数的增减区间与极值

我们将上面的结论叙述成定理。

1,定理:若在某区间内 \(f'(x)>0\),则在该区间内函数 \(f(x)\) 单调增加;若若在某区间内 \(f'(x)<0\),则在该区间内函数 \(f(x)\) 单调减少。

证明:设在区间 \((a,b)\) 内,\(f'(x)>0\),则对于任意 \(x_1x_2\in(a,b), x_1<x_2\),由中值定理,在区间 \((x_1,x_2)\) 内存在一点 \(c\),使得 \(f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2)-x_1\)。因为 \(f'(c)>0\),所以 \[f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)>0,\]即 \(f(x_2)>f(x_1)\)。

类似可证单调减少的情形。

由函数单调性的判别,我们可以得到函数极值的第一个判别条件。

2,定理(极值判别的第一条件):设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续,且在 \(x_0\) 的附近可导,

  • 若 \(x<x_0\) 时, \(f'(x)>0\);\(x>x_0\) 时,\(f'(x)<0\),则 \(x_0\) 是函数的极大值点,\(f(x_0)\) 为函数的极大值;
  • 若 \(x<x_0\) 时, \(f'(x)<0\);\(x>x_0\) 时,\(f'(x)>0\),则 \(x_0\) 是函数的极小值点,\(f(x_0)\) 为函数的极小值;

这个定理的结论可以直接由函数的单调性得到。第一个结论可以简单叙述为:先增加后减少,是为极大值;后一条可以叙述为:先减少后增加,是为极小值。

3,由费马引理,我们知道:极值可能的点为 \(f'(x)=0\) 的点或者 \(f'(x)\) 不存在的点。那么它们到底是不是极值,通常可用我们上面这个定理来判定。

所以求函数的极值,我们先求函数的一阶导数,然后求出一阶导数为 \(0\) 的点和一阶导数不存在的点,然后根据上面的定理来确定是不是极值。

例1:求函数 \(f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+5\) 的增减区间与极值。

解:我们先求出一阶导数, \[f'(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x^2-x-2)=12x(x-2)(x+1)\](视频上有有笔误)令 \(f'(x)=0\),我们得到三个根: \(x_1=2,x_2=-1,x=0\),没有其它的临界点。

当 \(x<-1\)时,\(f'(x)<0\),所以在此区间函数单调减少。当 \(-1<x<0\) 时,\(f'(x)>0\),函数在此区间上单调增加。当\(0<x<2\) 时,\(f'(x)<0\),所以在此区间函数单调减少;当\(0x>2\) 时,\(f'(x)>0\),所以在此区间函数单调增加。

\(x=-1\) 是极小值点,极小值为 \(f(-1)=0\)。 \(x=0\) 是极大值点,极大值 \(f(0)=5\);\(x=2\) 是极小值点,极小值为 \(f(2)=-27\)。

例2:设 \(f(x)=3x^{\frac{2}{3}}-x\),求它的增减区间与极值。

解:一阶导数为 \[f'(x)=2x^{-\frac{1}{3}}-1=\frac{2-\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}\]令 \(f'(x)=0\),我们得到 \(x=8\);\(f'(x)\) 不存在的点为 \(x=0\),所以我们有两个临界点 \(x_1=8, x_2=0\)。

当 \(x<0\) 时,\(f'(x)<0\),函数在此区间单调减少。当 \(0<x<8\) 时, \(f'(x)>0\),函数在此区间单调增加。当 \(x>8\) 时,\(f'(x)<0\),函数在此区间上单调减少。

\(x=0\) 是函数的极小值点,\(f(0)=0\) 是极小值。\(x=8\) 是极大值点,极大值为 \(f(8)=4\)。