函数的凹凸性与拐点

利用函数的二阶导数可以判定函数的凹凸区间与拐点。二阶导数为正,则函数是凹的;二阶导数为负,则函数是凸的。而在某点左右,二阶导数变号,则该点为函数的拐点。

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1,凹凸性的定义:关于函数曲线的凹凸性的定义有好几种。我们列举如下 :

我们称曲线是凹的,有以下几种定义:

  1. 曲线的切线在曲线下方;
  2. 曲线切线的斜率是增加的;
  3. 曲线上连接两点的线段在曲线上方。

同样,我们称曲线是凸的,也有几种定义:

  1. 曲线的切线在曲线上方;
  2. 曲线切线的斜率是减少的;
  3. 曲线上连接两点的线段在曲线下方。

2,定义:对于曲线凹凸性的定义,我们采用第二种方法。

若在某个区间内,曲线的切线斜率增加, 我们称曲线在此区间是“凹”的(开口朝上);若某个区间曲线的切线斜率减少,我们称曲线在该区间内是“凸”的(开口朝下)。

3,由上面的定义,我们可以用函数的二阶导数来判断函数的凹凸性。

定理:若函数在某区间内二阶可导, \(f^{\prime\prime}(x)>0\),则函数在此区间上是凹的;若\(f^{\prime\prime}(x)<0\),则函数在此区间上是凸的。

证明:由以上的定义可以直接得到结论。因为 \(f^{\prime\prime}(x)=(f'(x))’\),所以若二阶导数为正,则一阶导数增加,函数曲线为凹;若二阶导数为负,则一阶导数减少,函数曲线为凸。

4,拐点:若函数在一点 \((x_0,f(x_0))\) 左右二阶导数变号,则我们称点 \((x_0,f(x_0))\) 为函数的拐点(凹凸性改变的点)。

拐点可能的点:二阶导数为 \(0\) 的点与二阶导数不存在的点。

例1:设 \(f(x)=2x^3+3x^2-12x+14\) 的凹凸区间与拐点。

解:函数的一、二阶导数为\[f'(x)=6x^2+6x-12,\quad f^{\prime\prime}(x)=12x+6=6(2x+1)\]令二阶导数为 \(0\),则 \(x=-\frac{1}{2}\)。

当 \(x<-\frac{1}{2}\) 时, \(f^{\prime\prime}(x)<0\),函数是凸的;当 \(x>-\frac{1}{2}\) 时,\(f^{\prime\prime}(x)>0\),函数是凹的。

\((-\frac{1}{2},f(-\frac{1}{2})=(-\frac{1}{2}, \frac{41}{2})\) 是函数的拐点。