函数图形的描绘

我们只要知道了函数的一、二阶导数,我们基本上可以将函数的图形画出来了。这里我们讲解了函数作图的步骤和方法。

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函数作图的步骤:

  1. 确定函数的定义域,以及它的一些性态:对称性,周期性等等;
  2. 确定函数的渐近线;
  3. 求函数的一阶导数,确定它的增减区间及极值;
  4. 求函数的二阶导数,确定它的凹凸区间与拐点;
  5. 添加一些重要的点,如函数与坐标轴的交点等等。
  6. 画图。

例1:作函数 \(y=\frac{(x+1)^2}{x^2+1}\)的图形。

解:(1)函数的定义域为整个实数轴 \(x\in\mathbb{R}\);

(2)渐近线:\[\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{(x+1)^2}{x^2+1}=1,\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{(x+1)^2}{x^2+1}=1\]所以函数有水平渐近线 \(y=1\)。

(3)一阶导数。\[f'(x)=\frac{2(x+1)(x^2+1)-2x(x+1)^2}{(x^2+1)^2}=\frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}\]

令 \(f'(x)=0\),我们得到两个点 \(x=\pm 1\)。当 \(x<-1\) 时,\(f'(x)<0\),函数单调减少;当 \(-1<x<1\) 时,\(f'(x)>0\),函数单调增加;当 \(x>1\) 时,\(f'(x)<0\),函数单调减少。

\(f(-1)=0\) 是极小值, \(f(1)=2\) 是极大值。

(4)二阶导数。\[f^{\prime\prime}(x)=\frac{4x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}\]令 \(f^{\prime\prime}(x)=0\),得到三个点 \(x=\pm\sqrt3,0\)。

当 \(x<-\sqrt3\) 时,\(f^{\prime\prime}(x)>0\), 函数是凹的;当 \(-\sqrt3<x<0\) 时,\(f^{\prime\prime}(x)>0\), 函数是凹的;当 \(x>\sqrt3\) 时,\(f^{\prime\prime}(x)<0\), 函数是凹的。

拐点为 \((-\sqrt{3}, f(\sqrt3)), (0,f(0)) \),以及 \((\sqrt3, f(\sqrt3))\)。求出这几个点处的函数值,我们得到三个拐点:\((-\sqrt{3}, \frac{4-2\sqrt3}{4}), (0,1), (\sqrt{3}, \frac{4+2\sqrt3}{4})\)

(5)函数与 \(y\) 轴的交点为 \((0,1)\),与\(x\) 轴的交点为 \((-1,0)\),这两点一个是拐点,一个是极值点。

(6)画图。根据我们上面所得到的信息,我们可以画出函数的图形了。