隐函数求导法

对于用方程给出的自变量与因变量的函数关系,我们称之为隐函数。对于隐函数的导数,我们采用隐函数求导法来求函数的导数。就是将方程两边对 \(x\) 求导,在求导过程中,将 \(y\) 看成 \(x\) 的函数,运用复合函数求导法,从而求得函数的导数的方法。这里我们举例说明了如何应用隐函数求导法。

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我们之前所见到的函数,都是显函数,就是形如 \(y=f(x)\) 的函数, \(y\) 可以表示成 \(x\) 的具体表达式。但是有一些函数,它们之间的关系不是用一个等式给出,而是用一个方程给出,这种函数关系叫做隐函数。例如

\(y=2x^3+\sin x-5\ln x\) 是显函数。而 \(x^2+y^2-e^y=1\) 就是隐函数。

有些隐函数可以化成显函数,有些不可以。有些虽然可以,但不是很实用。所以我们需要能够直接对隐函数进行求导的方法。这就是隐函数求导法。

隐函数求导法:我们对方程两边对 \(x\) 求导,在求导的过程中,将 \(y\) 看成 \(x\) 的函数,利用复合函数求导公式,最后解出 \(\frac{dy}{dx}\)。

我们来看一下如何利用隐函数求导法。

例1:设 \(x^2+y^2=1\),求 \(\frac{dy}{dx}\)。

解:我们对方程两边对 \(x\) 求导,将 \(y\) 看成 \(x\) 的函数,我们有 \[2x+2yy’=0\]所以 \[y’=-\frac{x}{y}\]

例2:\(5y^2+\sin y=x^2\),求 \(\frac{dy}{dx}\)。

解:两边对 \(x\) 求导, 我们有\[10y\frac{dy}{dx}+\cos y\frac{dy}{dx}=2x\]所以 \[\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{10y+\cos y}\]

例3:设曲线由方程 \(x^3+y^3-9xy=0\) 给出,求该曲线在点 \((2,4)\) 处的切线方程。

解:方程两边对 \(x\) 求导,我们有

\[3x^2+3y^2\frac{dy}{dx}-9y-9x\frac{dy}{dx}=0\]所以\[\frac{dy}{dx}=\frac{9y-3x^2}{3y^2-9x}\] 所以我们有 \[\frac{dy}{dx}\Big|_{(2,4)}=\frac{24}{30}=\frac{4}{5}\]所以切线的方程为 \[y-4=\frac{4}{5}(x-2)\]