相关变化率

如果两个变量 x,y 之间存在函数关系,若其中一个会依时间变化,那么另一个变量也必定依时间变化。利用两个变量之间的函数关系,我们能够从其中一个变量关于时间的变化率导出另一个变量关于时间的变化率,这就是相关变化率的概念。

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我们用数学语言来叙述就是:若 y=f(x)x=x(t),已知在某个时刻 \frac{dx}{dt} 的值,如何求得 \frac{dy}{dt} 的值?这个实际上只需要使用一次复合函数的求导法则,就可以得到结论了。

相关变化率一般跟实际问题联系在一起。我们经常需要先确定变量之间的关系,然后利用复合函数求导法则,求出相关变化率。

例1:已知 y=x^3+2x\frac{dx}{dt}=5,求 \frac{dy}{dt}\Big|_{x=2}

解:我们知道

    \[\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=(3x^2+2)\frac{dx}{dt}\]

x=2 时,

    \[\frac{dy}{dt}\Big|_{x=2}=(3x^2+2)\frac{dx}{dt}\Big|_{x=2}=(3\cdot 4+2)\cdot 5=70\]

例2:10 米长的梯子,靠在墙上,如果梯子底部以 1米/秒的速度滑离墙面,问当梯子底部离墙 6 米远的时候,梯子顶部下降的速度。

解:由勾股定理,我们知道

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x^2+y^2=100,现在我们知道 \frac{dx}{dt}=1,当 x=6 时,y=8。我们来求 \frac{dy}{dt}。我们对方程 x^2+y^2=100 两边对 t 求导,就有

    \[2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0,\quad \Rightarrow 2\cdot 6\cdot 1+2\cdot 8\cdot\frac{dy}{dt}=0\]

解出 \frac{dy}{dt},我们得到

    \[\frac{dy}{dt}=-\frac{12}{16}=-\frac{3}{4}\]

所以梯子顶部下降的速度是 \frac{3}{4} 米/秒。