对数求导法

对一些特殊的函数,例如幂指函数,或者乘、除、指数特别多的函数,用通常的求导法来求导数,可能会有一些困难,要么是没有可用的公式,要么就是太复杂,这时候,对数求导法就比较好的解决了这个问题。

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对数求导法的方法是将函数两边同时取对数,利用对数函数的性质与运算规律,可以将幂指函数化成函数的积,将函数的乘除化成加减,然后利用隐函数求导法来求导,从而大大简化了求导的过程。

对于幂指函数来说,它们的导数可以通过对数求导法来求,也可以通过复合函数求导法则来求。我们看看如何使用这两种方法来求幂指函数的导数。

例1:求 \(y=x^{\sin x}\) 的导数。

解:我们用两种方法来求这个函数的导数。

(I)用复合函数的求导法则。这个函数我们不能直接应用复合函数的求导法则来求,那是因为它即不是幂函数,也不是指数函数。所以它的复合规则不是幂函数与指数函数的复合。如果要应用复合函数的求导法则,就要先弄懂它的复合规则。

我们将这个函数变形,取 \(e\) 底再取对数,\[y=x^{\sin x}=e^{\ln (x^{\sin x})}=e^{\sin x\ln x}\]现在我们可以就用复合函数求导法则,这是一个指数函数的复合函数。

\[y’=\left(e^{\sin x\ln x}\right)’=e^{\sin x\ln x}(\sin x\ln x)’=e^{\sin x\ln x}(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x})\]

我们再用对数求导法来求这个函数的导数。

(II)对数求导法。对函数两边取对数,我们有\[\ln y=\sin x\ln x\]两边对 \(x\) 求导,将 \(y\) 看成是 \(x\) 的函数,应用隐函数求导法则, 我们有

\[\frac{1}{y}y’=\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\]两边同乘以 \(y\),就有\[y’=y(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x})\]将 \(y\) 的表达式代进去,就得到了\[y’=x^{\sin x}(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x})\]

我们现在看另外一种题型。

例2:设 \[y=\frac{\sqrt[3]{3x^2-5}\sqrt[5]{2x+7}}{\sqrt[4]{x+3}\sqrt{x^2-2x-1}}\]求 \(y’\)。

解:这个函数虽然可以用商的求导法则来求,但是那样的话,就太复杂了。如果使用对数求导法,会大大简化计算过程。

我们对函数两边取对数,利用对数函数的性质,我们有

\[\ln y=\frac{1}{3}\ln(3x^2-5)+\frac{1}{5}\ln(2x+7)-\frac{1}{4}\ln(x+3)-\frac{1}{2}\ln(x^2-2x-1)\]

两边对 \(x\) 求导,将 \(y\) 看成是 \(x\) 的函数,就得到了\begin{align*}\frac{1}{y}y’&=\frac{1}{3}\cdot\frac{6x}{3x^2-5}+\frac{1}{5}\cdot\frac{2}{2x+7}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x+3}-\frac{1}{2}\cdot\frac{2x-2}{x^2-2x-1}\\&=\frac{2x}{3x^2-5}+\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2x+7}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x+3}-\frac{x-1}{x^2-2x-1}\end{align*}

两边乘以 \(y\),再把 \(y\) 的表达式代进去,就求出了导数 \[y’=\frac{\sqrt[3]{3x^2-5}\sqrt[5]{2x+7}}{\sqrt[4]{x+3}\sqrt{x^2-2x-1}}\left(\frac{2x}{3x^2-5}+\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2x+7}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x+3}-\frac{x-1}{x^2-2x-1}\right)\]

例3:\(y=\frac{(x+1)^5(x+2)^7}{(x+3)^4(x+4)^6}\),求 \(y’\)。

解:两边取对数,我们有\[\ln y=5\ln(x+1)+7\ln(x+2)-4\ln(x+3)-6\ln(x+4)\]两边对 \(x\) 求导,就得到了 \begin{align*}\frac{1}{y}y’=\frac{5}{x+1}+\frac{7}{x+2}-\frac{4}{x+3}-\frac{6}{x+4}\end{align*}两边乘以 \(y\),再将 \(y\) 的表达式代入,就得到了\[y’=\frac{(x+1)^5(x+2)^7}{(x+3)^4(x+4)^6}\left(\frac{5}{x+1}+\frac{7}{x+2}-\frac{4}{x+3}-\frac{6}{x+4}\right)\]