复合函数的导数(链式法则)

我们推导复合函数的求导法则。复合函数的求导法则也称为链式法则,它是求导法则里最重要也是最难掌握的一个法则。要熟练掌握这一法则,需要对基本求导公式比较熟悉才行。

笔记下载:复合函数的求导法则(链式法则)

我们将复合函数的求导法则(链式法则)叙述如下:

定理:设函数 \(y=f(u)\) 在 \(u=g(x)\) 处可导,而 \(u=g(x)\) 在 \(x\) 处可导,则函数 \(y=f(g(x))\) 在 \(x\) 处可导,且 \[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}\] 或者写成 \[[f(g(x))]’=f'(g(x))\cdot g'(x)\]

证明:我们从导数的定义\[\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}\]因为 \(u=g(x)\) 在 \(x\) 处可导,所以它在这一点也是连续的,也就是 \(\Delta u\to 0\) 当 \(\Delta x\to 0\)。所以

\[\begin{align*}\frac{dy}{dx}&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta u\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x}\\&=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=f'(u)\cdot g'(x)\\&=f'(g(x))\cdot g'(x)\end{align*}\]

我们先来看两个简单的例子。

例1,设 \(y=\ln(\sin x)\), 求 \(y’\)。

解:设\(u=\sin x\),则 \(y=\ln u, u=\sin x\),由复合函数的求导公式

\[\begin{align*}\frac{dy}{dx}&=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=(\ln u)'(\sin x)’\\&=\frac{1}{u}\cdot \cos x=\frac{\cos x}{\sin x}\\&=\tan x\end{align*}\]

例2:设 \(y=e^{x^3}\),求 \(y’\)。

解:设 \(u=x^3\),则 \(y=e^u, u=x^3\)。由复合函数的求导法则

\[y’=\frac{dy}{dx}=(e^u)'(x^3)’=e^u\cdot 3x^2=3x^2e^3\]

当我们熟练以后,我们可以不再设中间变量 \(u\),而是直接利用公式 \((f(g(x)))’=f'(g(x))g'(x)\) 来求。

例3:求 \(y=\sin(\ln x)\) 的导数。

解:由复合函数的求导公式,\[y’=(\sin(\ln x))’=\cos(\ln x)\cdot \frac{1}{x}=\frac{\cos(\ln x)}{x}\]

当复合函数由三个或者三个以上的函数复合时,导数的求法有时候就比较复杂。特别是混合了复合函数以及函数的四则运算时,就特别让人迷惑。这时候就要记住一条规则:

依次去括号,从外层一直去到自变量为止!每一个括号看成是一个整体。每一个函数符号也看成一个括号。

我们先用简单的例题来看怎么去括号。

例4:求函数 \(f(x)=\sqrt{x^2+4x-7}\) 的导数。

解:我们有 \(f(x)=(x^2+4x-7)^{\frac{1}{2}}\),我们看到,括号外面是 \(\frac{1}{2}\) 次方,把括号当成一个整体,那么它的导数就是 \(\frac{1}{2}\) 乘以括号的 \(-\frac{1}{2}\) 次方,再乘以括号里面的导数,也就是

\[\begin{align*}f'(x)=\left((x^2+4x-7)^{\frac{1}{2}}\right)’&=\frac{1}{2}(x^2+4x-7)^{-\frac{1}{2}}\cdot (x^2+4x-7)’\\ &=\frac{1}{2}(x^2+4x-7)^{-\frac{1}{2}}\cdot(2x+4)\end{align*}\]

例5:求函数 \(f(x)=\sin(e^{x^2})\) 的导数。

解:我们把函数符号也看成一个括号。所以第一步是 \(\sin\) 的导数,是\(\cos\) ,括号里面部分照写,再乘上括号里面部分的导数。就是\[f'(x)=(\sin(e^{x^2}))’=\cos(e^{x^2})(e^{x^2})’\]我们再看第二部分,又是一个复合函数,外层函数符号为指数函数,所以它的导数是它自己,然后再乘以里面部分的导数,就是

\[\begin{align*}f'(x)&=(\sin(e^{x^2}))’=\cos(e^{x^2})(e^{x^2})’\\ &=\cos(e^{x^2})e^{x^2}(x^2)’=\cos(e^{x^2})e^{x^2}2x\end{align*}\]

这时候,已经到了最里面的括号了,这就是最终的结果。

最后我们看一个经典的例题,混合了复合函数与四则运算的函数的导数,这时候,去括号的方式就显示出它的优势来了。

例5:求函数 \(f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}\) 的导数。

这题大部分的同学第一次做的时候都会错,因为有些部分乘了不该乘的项。我们来看一下正确做法。

解:我们先改写一下函数\[f(x)=\left(x+\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)^{\frac{1}{2}}\]

所以第一步,去掉第一层括号,

\[f'(x)=\frac{1}{2}\left(x+\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot \left(x+\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)’\] 这时候就要注意了,括号里面是两部分的和,

\[\begin{align*}f'(x)&=\frac{1}{2}\left(x+\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot \left(x+\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)’\\ &=\frac{1}{2}\left(x+\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot \left(1+\left(\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)’\right)\\&=\frac{1}{2}\left(x+\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot \left(1+\left(x+\sqrt{x}\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot\left(x+\sqrt{x}\right)’\right)\\&=\frac{1}{2}\left(x+\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot \left(1+\left(x+\sqrt{x}\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot\left(1+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\right)\right)\end{align*}\]

这里比较常见的错误是将 \(\left(x+\sqrt{x}\right)’\) 这一部分乘到整个括号外面。要注意,这一部分只跟 \(\left(x+\sqrt{x}\right)^{-\frac{1}{2}}\) 这一部分相关,因为它只是这一部分括号里面部分的导数。