基本初等函数的导数

我们利用极限来计算一些基本初等函数的导数,如 \(\sin , x^n, e^x, \ln x\)等函数。这些函数的导数是求其它函数导数的基础。

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1,\(\sin x \) 的导数。根据导数的定义\[\begin{align*}(\sin x)’&=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{\sin x\cos h+\sin h\cos x-\sin x}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}\cdot \sin x+\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}\cdot \cos x\\&=\cos x\end{align*}\]这里我们用到了 \[\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1,\quad \lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0\]后一个极限可以通过两个重要极限的第一个求得。

2, \(\cos x\) 的导数。我们有\[\begin{align*}(\cos x)’&=\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}\cdot \cos x-\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}\cdot\sin x\\&=-\sin x\end{align*}\]

3,\(e^x\) 的导数。由导数的定义\[\begin{align*}(e^x)’&=\lim_{h\to0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}\cdot e^x\end{align*}\]

令 \(e^h-1=t\),则 \(h=\ln(1+t)\),从而 \[\begin{align*}\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}\cdot e^x&=e^x\lim_{t\to0}\frac{t}{\ln(1+t)}\\&=e^x\lim_{t\to0}\frac{1}{\frac{1}{t}\ln(1+t)}\\&=e^x\lim_{t\to0}\frac{1}{\ln(1+t)^{\frac{1}{t}}}=e^x\end{align*}\]这里我们用到了 \(\lim_{t\to0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e\)这个结果。所以\[(e^x)’=e^x\]

4,\(x^n, n\in \mathbb {N}\) 的导数。由定义\[\begin{align*}(x^n)’&=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{x^n+nx^{n-1}h+\cdots +nxh^{n-1}-x^n}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{nx^{n-1}h+\cdots +nxh^{n-1}}{h}\\&=nx^{n-1}\end{align*}\]

5,\(a^x\) 的导数。\[\begin{align*}(a^x)’&=\lim_{h\to0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}\cdot a^x\end{align*}\]我们令 \(t=a^h-1\),则 \(h=\log_a(1+t)\),所以\[\begin{align*}\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}\cdot a^x&=a^x\lim_{t\to0}\frac{t}{\log_a(1+t)}\\&=a^x\lim_{t\to0}\frac{t\ln a}{\ln(1+t)}\\&=a^x\ln a\end{align*}\]这里我们用到了换底公式 \[\log_a(1+t)=\frac{\ln(1+t)}{\ln a}\]

6,\(\ln x\) 的导数。\[\begin{align*}(\ln x)’&=\lim_{h\to0}\frac{\ln(x+h)-\ln x}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+\frac{h}{x})}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+\frac{h}{x})}{\frac{h}{x}}\cdot\frac{1}{x}\\&=\frac{1}{x}\end{align*}\]

7,\(\log_ax\) 的导数。\[\begin{align*}(\log_ax)&=\lim_{h\to0}\frac{\log_a(x+h)-\log_ax}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{\log_a(x+\frac{h}{x})}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+\frac{h}{x})}{h\ln a}\\&=\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+\frac{h}{x})}{\frac{h}{x}\cdot x}\cdot\frac{1}{\ln a}=\frac{1}{x\ln a}\end{align*}\]

8,\(x^n, n\in\mathbb{R}\) 的导数。注意这里的 \(n\) 是实数。\[\begin{align*}(x^n)’&=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\\ &=\lim_{h\to0}x^n\cdot\frac{(1+\frac{h}{x})^n-1}{h}\\&=x^n\lim_{h\to0}\frac{(1+\frac{h}{x})^n-1}{\ln(1+\frac{h}{x})^n}\cdot\frac{\ln(1+\frac{h}{x})^n}{h}\end{align*}\]令 \(t=(1+\frac{h}{x})^n-1\), 则\[\begin{align*}x^n\lim_{h\to0}\frac{(1+\frac{h}{x})^n-1}{\ln((1+\frac{h}{x})^n)}\cdot\frac{\ln(1+\frac{h}{x})^n}{h}&=x^n\lim_{h\to0}\frac{t}{\ln((1+t)}\cdot\frac{n\ln(1+\frac{h}{x})}{h}\\ &=x^n\lim_{h\to0}\frac{t}{\ln((1+t)}\cdot\frac{\ln(1+\frac{h}{x})}{\frac{h}{x}}\cdot \frac{n}{x}=nx^{n-1}\end{align*}\]

9,最后,常数的导数为 \(0\)。因为 \[C’=\lim_{h\to 0}\frac{C-C}{h}=0\]

总结起来,我们有了这些公式:

\[\begin{array}{ll}C’=0& (x^n)=nx^{n-1}\\ (\sin x)’=\cos x,& (\cos x)’=-\sin x\\ (e^x)’=e^x,& (a^x)’=a^x\ln a\\ (\ln x)’=\frac{1}{x}& (\log_ax)’=\frac{1}{x\ln a}\\ \end{array}\]