反函数的求导法则

我们推导反函数的求导法则,如果 \(y=f^{-1}(x)\),则 \(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}\)。这个公式有时候不好理解,我们用具体的函数以及具体的数值来说明如何应用这一求导法则。

笔记下载:反函数的导数

我们可以用隐函数的求导法则来推导反函数求导法。

1,反函数求导法则。设 \(y=f^{-1}(x)\),我们如何求 \(\frac{dy}{dx}\)?因为\(y=f^{-1}(x)\),所以 \(x=f(y)\),两边对 \(x\) 求导,利用隐函数求导法,我们有 \[1=f'(y)\frac{dy}{dx}\Longrightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\]

这个公式的推导不难,难的是如何应用它,特别在求反函数在某一点处的导数的时候。

我们先来推导反三角函数的导数,然后再看一些反函数在特定点处导数的求法。

例1:求\(y=\arcsin x\) 的导数。

解:因为 \(y=\arcsin x=\sin^{-1}(x)\),它是 \(\sin x\) 的反函数,而 \((\sin x)’=\cos x\)。由反函数求导公式,\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\cos (\sin^{-1}(x))}\] 因为 \(\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}\),所以\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos (\sin^{-1}(x))}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\sin^{-1}x)}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]

例2:求\(y=\arccos x\) 的导数。

解:因为 \((\cos x)’=-\sin x\),所以\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=-\frac{1}{\sin y}=-\frac{1}{\sin (\cos^{-1}(x))}\] 因为 \(\sin x=\sqrt{1-\sin^2 x}\),所以\[\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sin (\cos^{-1}(x))}=-\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2(\cos^{-1}x)}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]

例3:\(y=\arctan x\) 的导数。

解:因为 \((\tan x)’=\sec^2(x)\),所以\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{\sec^y}=\frac{1}{\sec^2 (\tan^{-1}(x))}\] 因为 \(\sec^2 x=1+\tan^2x\),所以\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sec^2(\tan^{-1}(x))}=\frac{1}{1+\tan^2(\tan^{-1}x)}=\frac{1}{1+x^2}\]

同样的方法,我们可以求得 \((\text{arccot} x)’=-\frac{1}{1+x^2}\)。

2,反三角函数的求导公式。从上面我们计算所得,我们有了四个反三角函数的求导公式。

\[(\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad (\arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]

\[(\arctan x)’=\frac{1}{1+x^2},\quad (\text{arccot} x)’=-\frac{1}{1+x^2}\]

3,一般的反函数求导。

例4:设 \(f(x)=x^3-2\),求 \((f^{-1})'(6)\)。

解:设 \(y=f^{-1}(x)\),那么 \[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\]

因为 \(f'(x)=3x^2\),所以\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{3y^2}=\frac{1}{3(f^{-1}(x))^2}\]

现在的问题是,我们代什么值进去,如何代值进去。分母里面 \(f^{-1}(6)\) 的值如何算。因为 \(f^{-1}(x)\) 是 \(f(x)\) 的反函数,所以 \(f^{-1}(6)\) 的值就是由 \(f(x)=6\) 算出来的 \(x\) 的值。

因为 \(6=x^3-2\),所以得到 \(x=2\),也就是说 \(f^{-1}(6)=2\),从而 \[(f^{-1})'(6)=\frac{1}{3(f^{-1}(x))^2}=\frac{1}{12}\]