参数方程所确定的函数的导数

我们推导如何求参数方程所确定的函数的导数。我们导出结论:若\(x=\phi(t),y=\psi(t)\),则\(\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}\)。

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如果一条曲线由参数方程给出,\(\begin{cases}x=\phi(t)\\ y=\psi(t)\end{cases}\),那么这个参数方程给出了 \(x\) 和 \(y\) 之间的函数关系。这种函数我们称之为由参数方程确定的函数。

对于由参数方程确定的函数,我们如何导出 \(\frac{dy}{dx}\)?我们有如下的

定理:设 \(y=y(x)\) 由参数方程 \(\begin{cases}x=\phi(t)\\ y=\psi(t)\end{cases}\) 确定,并且 \(\phi(t),\psi(t)\) 都可导, \(\phi'(t)\ne 0\),那么\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}\]

证明:因为 \[\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\]因为 \(x=\phi(t), y=\psi(t)\) 可导,所以它们是连续的。这就表示当 \(\Delta x\to 0\) 时, \(\Delta t\to 0,\Delta y\to 0\)。所以 \[\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta y/\Delta t}{\Delta x/\Delta t}=\frac{y'(t)}{x'(t)}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}\]

我们来看一些例子。

例1:设 \(x=t-t^2, y=t-t^3\),求 \(\frac{dy}{dx}\)。

解:由参数方程的求导法则,我们有

\[\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}=\frac{1-2t}{1-3t^2}\]

例2:求由参数方程给出的曲线 \(x=\sec t, y=\tan t, -\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}\) 在点 \((\sqrt2,1)\) 处的切线方程。

解:因为 \[\frac{dy}{dx}=\frac{(\tan t)’}{(\sec t)’}=\frac{\sec^2t}{\sec t\tan t}=\frac{\sec t}{\tan t}=\frac{1}{\cos t}\cdot \frac{\cos t}{\sin t}=\csc t\]

当 \(x=\sqrt2, y=1\) 时,\(t=\frac{\pi}{4}\),所以 \[\frac{dy}{dx}\Big|_{t=\frac{\pi}{4}}=\csc(\frac{\pi}{4})=\sqrt2\]

所以在点 \((\sqrt2, 1)\) 处的切线方程为\[y-1=\sqrt2(x=\sqrt2)\]