函数的高阶导数

将函数的一阶导数再求导,就是函数的二阶导数。依此类推,我们得到函数的高阶导数的定义。一般函数的高阶导数比较好求,但是隐函数与参数方程所确定的函数的导数,有时候并不容易直接求得出来。我们在这里举例说明如何求 隐函数与参数方程确定的函数的高阶导数。

笔记下载:高阶导数

1,二阶导数:一个函数 \(f(x)\) 的导函数 \(f'(x)\) 还是一个函数,对这个导函数再求导,就是原来的函数的二阶导数,我们记为 \(f^{\prime\prime}(x)\)。

2,记号:跟一阶导数一样,二阶导数也有不同的记号。以下的符号都表示函数的二阶导数。

\[f^{\prime\prime}(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d^2f}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}\right)=y^{\prime\prime}\]这里 \(\frac{d}{dx}\)表示对 \(x\) 求导。

3,高阶导数:同理我们可以定义更高阶的导数,三阶导数,四阶导数,……,\(n\) 阶导数等等。三阶导数我们可以记为 \[f^{\prime\prime\prime}(x)=y^{\prime\prime\prime}=\frac{d^3y}{dx^3}=\frac{d^3f}{dx^3}\]但是更高阶的导数,我们用打括号的上标数字表示它的阶。

\[f^{(n)}(x)=y^{(n)}=\frac{d^nf}{dx^n}=\frac{d^ny}{dx^n}\]

所以对于一般的函数来说,高阶导数没有什么新的内容。但是对于隐函数、参数方程确定的函数,它们的高阶导数会稍微麻烦一点点。我们给出几个例子。

例1:求 \(y=x\sin x\) 的二阶导数。

解:\(y’=\sin x+x\cos x\),所以 \[y^{\prime\prime}=\cos x+\cos x-x\sin x=2\cos x-x\sin x\]

例2:求 \(y=\sin(e^x)\) 的二阶导数。

解:\(y’=\cos(e^x)\cdot e^x\),所以二阶导数为\[y^{\prime\prime}=-\sin(e^x)e^{2x}+\cos(e^x)\cdot e^x\]

例3:求 \(y=\sin x\) 的 \(n\) 阶导数。

解:一般的求 \(n\) 阶导数,需要我们给出一般的与 \(n\) 有关的表达式。

我们看一阶导数:\(y’=\cos x=\sin (x+\frac{\pi}{2})\),所以二阶导数为 \[y^{\prime\prime}=\cos(x+\frac{\pi}{2})=\sin(x+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2})=\sin(x+\pi)\]以此类推,我们得到 \[y^{n}=\sin(x+\frac{n\pi}{2})\]

4,隐函数的高阶导数:我们用隐函数求导法求出一阶导数后,一般情况下,一阶导数里都会含有 \(y\) 项。要求它的二阶导数,只需要对一阶导数再求导,在求导过程中,\(y\) 依然看成是 \(x\) 的函数即可,求出导数后,\(y’\) 用一阶导数给出的表达式代入即可。

例4:设 \(xy=1\),求 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)。

解:首先对方程两边同时对 \(x\) 求导,我们得到了 \[y+xy’=0 \quad\Rightarrow \quad y’=-\frac{y}{x}\]我们再对一阶导数对 \(x\) 求导,就得到了\[y^{\prime\prime}=-\frac{y’x-y}{x^2}=-\frac{x\cdot(-\frac{y}{x})-y}{x^2}=\frac{2y}{x^2}\]

(视频上有个笔误!)

5,参数方程的高阶导数:参数方程的一阶导数,一般只含有参数 \(t\),如果要求它的二阶导数,需要将对 \(x\) 的导数转化成关于 \(t\) 的导数。由关系式 \[\frac{d}{dx}=\frac{dt}{dx}\cdot \frac{d}{dt}=\frac{1}{\frac{dx}{dt}}\cdot\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\]我们可以将对 \(x\) 的导数转化成对 \(t\) 的导数。

例5:设 \(x=\sec t,y=\tan t\),求 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)。

解:我们先求出一阶导数 \[\frac{dy}{dx}=\frac{\sec^2t}{\sec t\tan t}=\csc t\]现在我们利用上面所说的关系式来求出二阶导数。因为

\begin{align*}\frac{d^2y}{dx^2}&=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{1}{\frac{dx}{dt}}\cdot\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\\&=\frac{1}{\sec t\tan t}\cdot \frac{d}{dt}\left(\csc t\right)=\frac{1}{\sec t\tan t}\cdot (-\csc t\cot t)\\&=\cos t\cdot\frac{\cos t}{\sin t}\cdot\frac{1}{\sin t}\cdot\frac{\cos t}{\sin t}=-\frac{\cos^3t}{\sin^3t}\\&=-\cot^3t\end{align*}